题目大意
求多项式 \(\prod_{i=1}^n(x+i)\) 的系数在模 \(p\) 意义下的分布，对 \(998244353\) 取模。
\(p\) 为质数。
\(n\leq {10}^{18},p\leq 250000\)
题解
我们只计算 \([1,p-1]\) 的分布，最后再算出 \(0\) 的出现次数。
记 \(n1=\lfloor\frac{n}{p}\rfloor,n2=n\bmod p\)。若 \(n\bmod p=p-1\)，则 \(n1=\lfloor\frac{n}{p}\rfloor+1,n2=0\)。
\[\begin{align}
&\prod_{i=0}^n(x+i)\\
=&x^{n1}\prod_{i=1}^{p-1}(x+i)^{n1}\prod_{i=1}^{n2}(x+i)
\end{align}
\]
&\prod_{i=0}^n(x+i)\\
=&x^{n1}\prod_{i=1}^{p-1}(x+i)^{n1}\prod_{i=1}^{n2}(x+i)
\end{align}
\]
第一部分我们直接忽略。
对于第二部分，\(\prod_{i=1}^{p-1}(x+i)=x^{p-1}-1\)（因为左右两边的根都是 \(1,2,\ldots,p-1\)）。那么 \(x^i(p-1)\) 项的系数就是 \(\binom{n1}{i}{(-1)}^{n1-i}\)。
因为系数的模数为 \(p\)，所以可以用 lucas 定理。
\(\binom{x}{y}\equiv\prod_i\binom{x_i}{y_i}\pmod p\)
假设 \(n1=(a_1a_2\ldots a_m)_p\)。
对每一位构造一个多项式 \(A(x)\)，\(a_i\) 表示有多少种方案满足这一位的贡献是 \(i\)。
那么可以像数位DP一样，枚举 \(i\) 的前多少位和 \(n1\) 是相同的，然后求出后面的方案数。
因为每一位都不能超过 \(a_i\)，所以直接把每一位对应的多项式乘在一起就好了。
这里的卷积稍微有点不同，\(a_i=\sum_{j}\sum_{k}[jk\bmod p=i]b_jc_k\)，只需要把下标取离散对数就好了。
不要忘记处理 \({(-1)}^{n1-i}\)。
复杂度为 \(O(p\log_pn\log p)=O(p\log n)\)。
对于第三部分，可以用倍增+任意模数FFT求出整个多项式。
大概就是记 \(F(n,x)=\prod_{i=1}^n(x+i)\)，那么 \(F(2n+1,x)=F(2n,x)(x+2n+1)\)，\(F(2n,x)=F(n,x)F(n,x+n)\)。
记 \(F(n,x)=\sum_ia_ix^i\)，那么 \(F(n,x+n)=\sum_ia_i(x+n)^i=\sum_ia_i\sum_{j\leq i}x^jn^{i-j}\binom{i}{j}=\sum_{i}x_i\sum_{j\geq i}a_jn^{j-i}\binom{j}{i}\)，直接卷积即可。
复杂度为 \(O(p\log p)\)。
由于第二部分的多项式形如 \(\sum_ia_ix^{i(p-1)}\)，而第三部分的次数 \(<p-1\)，所以两部分的乘积不互相干扰，可以分开求出后再合并到一起。
总时间复杂度为 \(O(p(\log n+\log p))\)。
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const ll p1=998244353;
const int N=530000;
const db pi=acos(-1);
ll fp(ll a,ll b,ll p)
{
ll s=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
if(b&1)
s=s*a%p;
return s;
}
ll n,p,g;
ll n1,n2;
ll e1[N],e2[N];
namespace fft
{
struct cp
{
db x,y;
cp(db a=0,db b=0):x(a),y(b){}
};
cp operator +(cp a,cp b){return cp(a.x+b.x,a.y+b.y);}
cp operator -(cp a,cp b){return cp(a.x-b.x,a.y-b.y);}
cp operator *(cp a,cp b){return cp(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
cp operator /(cp a,int b){return cp(a.x/b,a.y/b);}
cp muli(cp a){return cp(-a.y,a.x);}
cp divi(cp a){return cp(a.y,-a.x);}
cp conj(cp a){return cp(a.x,-a.y);}
const int W=524288;
cp w[N];
int rev[N];
void init()
{
for(int i=0;i<W/2;i++)
w[i]=cp(cos(2*pi/W*i),sin(2*pi/W*i));
}
void fft(cp *a,int n,int t)
{
for(int i=1;i<n;i++)
{
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
if(rev[i]>i)
swap(a[i],a[rev[i]]);
}
for(int i=2;i<=n;i<<=1)
for(int j=0;j<n;j+=i)
for(int k=0;k<i/2;k++)
{
cp u=a[j+k];
cp v=a[j+k+i/2]*w[W/i*k];
a[j+k]=u+v;
a[j+k+i/2]=u-v;
}
if(t==-1)
{
reverse(a+1,a+n);
for(int i=0;i<n;i++)
a[i]=a[i]/n;
}
}
void fft(db *a,db *b,cp *c,cp *d,int n)
{
static cp a1[N],a2[N];
for(int i=0;i<n;i++)
a1[i]=cp(a[i],b[i]);
fft(a1,n,1);
for(int i=0;i<n;i++)
a2[i]=conj(a1[i]);
reverse(a2+1,a2+n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
c[i]=(a1[i]+a2[i])/2;
d[i]=divi(a1[i]-a2[i])/2;
}
}
void ifft(db *a,db *b,cp *c,cp *d,int n)
{
static cp a1[N];
for(int i=0;i<n;i++)
a1[i]=c[i]+muli(d[i]);
fft(a1,n,-1);
for(int i=0;i<n;i++)
{
a[i]=a1[i].x;
b[i]=a1[i].y;
}
}
void mul(ll *a,ll *b,ll *c,int n,int m,int l,ll p)
{
const static int M=1<<16;
static db a1[N],a2[N],b1[N],b2[N],c1[N],c2[N],d1[N],d2[N];
static cp a3[N],a4[N],b3[N],b4[N],c3[N],c4[N],d3[N],d4[N];
int k=1;
while(k<=n+m)
k<<=1;
for(int i=0;i<k;i++)
a1[i]=a2[i]=b1[i]=b2[i]=0;
for(int i=0;i<=n;i++)
{
a[i]=(a[i]+p)%p;
a1[i]=a[i]/M;
a2[i]=a[i]%M;
}
for(int i=0;i<=m;i++)
{
b[i]=(b[i]+p)%p;
b1[i]=b[i]/M;
b2[i]=b[i]%M;
}
fft(a1,a2,a3,a4,k);
fft(b1,b2,b3,b4,k);
for(int i=0;i<k;i++)
{
c3[i]=a3[i]*b3[i];
c4[i]=a3[i]*b4[i];
d3[i]=a4[i]*b3[i];
d4[i]=a4[i]*b4[i];
}
ifft(c1,c2,c3,c4,k);
ifft(d1,d2,d3,d4,k);
for(int i=0;i<=l;i++)
c[i]=((ll)(c1[i]+0.5)%p*M%p*M%p+(ll)(c2[i]+0.5)%p*M%p+(ll)(d1[i]+0.5)%p*M%p+(ll)(d2[i]+0.5)%p)%p;
}
void mul2(ll *a,ll *b,ll *c,int n,ll p)
{
static ll a1[N],a2[N],a3[N];
for(int i=1;i<n;i++)
{
a1[e2[i]]=a[i];
a2[e2[i]]=b[i];
}
mul(a1,a2,a3,n-2,n-2,2*n-4,p);
for(int i=1;i<n;i++)
c[i]=0;
for(int i=0;i<=2*n-4;i++)
c[e1[i%(n-1)]]=(c[e1[i%(n-1)]]+a3[i])%p;
}
}
ll inv[N],fac[N],ifac[N];
void init()
{
inv[1]=fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
for(int i=2;i<p;i++)
{
inv[i]=(-p/i*inv[p%i]%p+p)%p;
fac[i]=fac[i-1]*i%p;
ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%p;
}
}
ll binom(int x,int y)
{
return x>=y&&y>=0?fac[x]*ifac[y]%p*ifac[x-y]%p:0;
}
int check()
{
ll s=1;
for(int i=1;i<=p;i++)
{
s=s*g%p;
if(s==1)
{
if(i==p-1)
return 1;
return 0;
}
}
return 0;
}
void getg()
{
for(g=1;;g++)
if(check())
break;
e1[0]=1;
for(int i=1;i<p-1;i++)
e1[i]=e1[i-1]*g%p;
for(int i=0;i<p-1;i++)
e2[e1[i]]=i;
}
namespace gao1
{
ll ans[N];
ll s[N];
void solve(int n)
{
if(!n)
{
s[0]=1;
return;
}
if(n&1)
{
solve(n-1);
for(int i=n-1;i>=0;i--)
{
s[i+1]=(s[i+1]+s[i])%p;
s[i]=s[i]*n%p;
}
}
else
{
solve(n>>1);
static ll a1[N],a2[N],a3[N];
for(int i=0;i<=n>>1;i++)
{
a1[i]=fp((n>>1),i,p)*ifac[i]%p;
a2[i]=s[i]*fac[i]%p;
}
reverse(a2,a2+(n>>1)+1);
fft::mul(a1,a2,a3,n>>1,n>>1,n>>1,p);
reverse(a3,a3+(n>>1)+1);
for(int i=0;i<=n>>1;i++)
a3[i]=a3[i]*ifac[i]%p;
fft::mul(s,a3,s,n>>1,n>>1,n,p);
}
}
void gao()
{
solve(n2);
for(int i=0;i<=n2;i++)
if(s[i])
ans[s[i]]++;
}
}
namespace gao2
{
ll ans[N];
int a[N],t;
ll s[N];
int v[N];
void gao()
{
static ll a1[N],a2[N];
for(ll _=n1;_;)
{
a[++t]=_%p;
_/=p;
}
ans[1]=1;
for(int j=1;j<=t;j++)
{
v[j]=(p==2&&j>1?1:-1);
for(int i=0;i<p;i++)
a1[i]=0;
for(int i=0;i<=a[j];i++)
a1[(binom(a[j],i)*(i&1?v[j]:1)%p+p)%p]++;
fft::mul2(ans,a1,a2,p,p1);
for(int i=1;i<p;i++)
ans[i]=a2[i];
}
}
}
ll ans[N];
int main()
{
open("b");
fft::init();
scanf("%lld%lld",&n,&p);
init();
getg();
n1=n/p,n2=n%p;
if(n2==p-1)
{
n1++;
n2=0;
}
gao1::gao();
gao2::gao();
fft::mul2(gao1::ans,gao2::ans,ans,p,p1);
ans[0]=(n+1)%p1;
for(int i=1;i<p;i++)
ans[0]=(ans[0]-ans[i])%p1;
for(int i=0;i<p;i++)
{
ans[i]=(ans[i]+p1)%p1;
printf("%lld\n",ans[i]);
}
return 0;
}