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本文考虑一下基于核方法进行分类预测。注意，在这里，我们不使用标准逻辑回归，它是参数模型。
非参数方法
用于函数估计的非参数方法大致上有三种：核方法、局部多项式方法、样条方法。
非参的函数估计的优点在于稳健，对模型没有什么特定的假设，只是认为函数光滑，避免了模型选择带来的风险；但是，表达式复杂，难以解释，计算量大是非参的一个很大的毛病。所以说使用非参有风险，选择需谨慎。
非参的想法很简单：函数在观测到的点取观测值的概率较大，用x附近的值通过加权平均的办法估计函数f(x)的值。
核方法
当加权的权重是某一函数的核,这种方法就是核方法，常见的有Nadaraya-Watson核估计与Gasser-Muller核估计方法，也就是很多教材里谈到的NW核估计与GM核估计，这里我们还是不谈核的选择，将一切的核估计都默认用Gauss核处理。
NW核估计形式为：
GM核估计形式为：
式中
数据
使用心脏病数据，预测急诊病人的心肌梗死，包含变量：
- 心脏指数
- 心搏量指数
- 舒张压
- 肺动脉压
- 心室压力
- 肺阻力
- 是否存活
既然我们知道核估计是什么，我们假设k是N（0,1）分布的密度。在x点，使用带宽h，我们得到以下代码
- dnorm(( 心搏量指数-x)/bw, mean=0,sd=1)
- weighted.mean( 存活,w)}
- plot(u,v,ylim=0:1,
-
当然，我们可以改变带宽。
- Vectorize( mean_x(x,2))(u)
-
我们观察到：带宽越小，我们得到的方差越大，偏差越小。“越大的方差”在这里意味着越大的可变性（因为邻域越小，计算平均值的点就越少，估计值也就越不稳定），以及“偏差越小”，即期望值应该在x点计算，所以邻域越小越好。
使用光滑函数
用R函数来计算这个核回归。
smooth( 心搏量指数, 存活, ban = 2*exp(1) 我们可以复制之前的估计。然而，输出不是一个函数，而是两个向量序列。此外，正如我们所看到的，带宽与我们以前使用的带宽并不完全相同。
- smooth(心搏量指数,存活,"normal",bandwidth = bk)
- optim(bk,f)$par}
- x=seq(1,10,by=.1)
- plot(x,y)
- abline(0,exp(-1),col="red")
-
斜率为0.37，实际上是e^{-1}。
高维应用
现在考虑我们的双变量数据集，并考虑一些单变量（高斯）核的乘积
-
- w = dnorm((df$x1-x)/bw1, mean=0,sd=1)*
- dnorm((df$x2-y)/bw2, mean=0,sd=1)
- w.mean(df$y=="1",w)
- contour(u,u,v,levels = .5,add=TRUE)
-
我们得到以下预测
在这里，不同的颜色是概率。
K-NN(k近邻算法)
另一种方法是考虑一个邻域，它不是用到点的距离来定义的，而是用我们得到的n观测值来定义k邻域（也就是k近邻算法）。
接下来，我们自己编写函数来实现K-NN(k近邻算法)：
困难的是我们需要一个有效的距离。
如果每个分量的单位都非常不同，那么使用欧几里德距离将毫无意义。所以，我们考虑马氏距离
- mahalanobis = function(x,y,Sinv){as.numeric(x-y)%*%Sinv%*%t(x-y)}
- mahalanobis(my[i,1:7],my[j,1:7])
-
这里我们有一个函数来寻找k最近的邻居观察样本。然后可以做两件事来得到一个预测。我们的目标是预测一个类，所以我们可以考虑使用一个多数规则：对yi的预测与大多数邻居样本的预测是一样的。
- for(i in 1:length(Y)) Y[i] = sort( 存活[k_closest(i,k)])[(k+1)/2]
-
我们也可以计算出最近邻居中黑点的比例。它实际上可以被解释为是黑色的概率，
- for(i in 1:length(Y)) Y[i] = mean( 存活[k_closest(i,k)])
-
我们可以在数据集上看到观察结果，基于多数原则的预测，以及死亡样本在7个最近的邻居中的比例
k_ma(7),PROPORTION=k_mean(7))
这里，我们得到了一个位于 x 的观测点的预测，但实际上，可以寻找任何 x的最近邻k。回到我们的单变量例子(得到一个图表)，我们有
-
- w = rank(abs(心搏量指数-x),method ="random")
- mean(存活[which(<=9)])}
-
不是很平滑，但我们的点也不是很多。
如果我们在二维数据集上使用这种方法，我们就会得到以下的结果。
- k = 6
- dist = function(j) mahalanobis(c(x,y))
- vect = Vectorize( dist)(1:nrow(df))
- idx = which(rank(vect<=k)
- contour(u,u,v,levels = .5,add=TRUE)
-
这就是局部推理的思想，用kernel对 x的邻域进行推理，或者用k-NN近邻。
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