1定义

(1)$f$ 在 $E$ 上积分确定 $\lra$ $\dps{\int_Ef^+(x)\rd x<+\infty}$ 或 $\dps{\int_Ef^-(x)\rd x<+\infty}$; 此时称 $$\bex \int_E f(x)\rd x=\int_Ef^+(x)\rd x -\int_Ef^-(x)\rd x \eex$$ 为 $f$ 在 $E$ 上的 Lebesgue 积分.

(2)$f$ 在 $E$ 上 Lebesgue 可积 $\lra$ $\dps{\int_Ef^+(x)\rd x<+\infty}$ 且 $\dps{\int_Ef^-(x)\rd x<+\infty}$; $E$ 上 Lebesgue 可积的函数全体记作 $L(E)$.  

 

2性质

(1)$E\neq \vno$, $mE=0\ra f\in L(E)$, 且 $\dps{\int_Ef(x)\rd x=0}$.

(2)$f\in L(E)\ra f\ae$ 有限, 于 $E$. 证明: $$\beex \bea f\in L(E)&\ra \int_E f^\pm (x)\rd x<+\infty\\ &\ra f^\pm \ae\mbox{ 有限}, \mbox{ 于 }E\\ &\ra f=f^+-f^-\ae\mbox{ 有限}, \mbox{ 于 }E. \eea \eeex$$

(3)$f$ 在 $E$ 上积分确定 $\ra f$ 在 $A$ 上积分确定. 证明: 不妨设 $\dps{0\leq \int_E f^+(x)\rd x<\infty}$, 则 $$\bex 0\leq \int_A f^+(x)\rd x \leq\int_E f^+(x)\rd x<+\infty. \eex$$ (4)$\dps{\serd{\ba{ll} f\mbox{ 在 }E\mbox{ 上积分确定}\\ E=A\cup B\ea}\ra \int_E f(x)\rd x =\int_Af(x)\rd x+\int_Bf(x)\rd x.}$ 证明: $$\beex \bea \int_Ef(x)\rd x &=\int_E f^+(x)\rd x -\int_Ef^-(x)\rd x\\ &=\sez{\int_Af^+(x)\rd x +\int_B f^+(x)\rd x} -\sez{\int_A f^-(x)\rd x +\int_B f^-(x)\rd x}\\ &=\sez{\int_Af^+(x)\rd x -\int_Af^-(x)\rd x} +\sez{\int_Bf^+(x)\rd x -\int_B f^-(x)\rd x}\\ &=\int_A f(x)\rd x +\int_Bf(x)\rd x. \eea \eeex$$

(5)$\dps{\serd{\ba{ll}f\mbox{ 在 }E\mbox{ 上积分确定}\\ f=g,\ae\mbox{ 于 }E\ea}\ra\sedd{\ba{ll}g\mbox{ 在 }E\mbox{ 上积分确定}\\ \int_E g(x)\rd x=\int_E f(x)\rd x\ea}}$. 证明: $$\beex \bea f=g\ae,\mbox{ 于 }E &\ra f^\pm =g^\pm\ae\mbox{ 于 }E\\ &\ra \int_E f^\pm(x)\rd x=\int_E g^\pm (x)\rd x\\ &\ra \sedd{\ba{ll} \int_Eg^+(x)\rd x,\ \int_E g^-(x)\rd x\mbox{ 至少一个有限}\\ \int_E f(x)\rd x=\int_E g(x)\rd x\quad\sex{\mbox{相减得到}} \ea}. \eea \eeex$$

(6)$\dps{\serd{\ba{ll}f\mbox{ 在 }E\mbox{ 上积分确定}\\ f\leq g\ae\mbox{ 于 }E\ea}\ra \int_E f(x)\rd x\leq \int_E g(x)\rd x}$. 证明: $$\beex \bea f\leq g,\ae\mbox{ 于 }E &\ra \sedd{\ba{ll} f^+\leq g^+,\mbox{ 于 }E\\ f^-\geq g^-,\mbox{ 于 }E\\ \ea}\\ &\ra \sedd{\ba{ll} \int_Ef^+(x)\rd x\leq \int_E g^+(x)\rd x\\ \int_E f^-(x)\rd x\geq \int_E g^-(x)\rd x \ea}\\ &\ra \int_E f(x)\rd x\leq \int_E g(x)\rd x. \eea \eeex$$

(7)(积分估值) $\dps{\serd{\ba{ll} mE<+\infty\\ b\leq f\leq B,\ae\mbox{ 于 }E \ea}\ra b\cdot mE\leq \int_E f(x)\rd x \leq B\cdot mE}$.

(8)$f\in L(E)\lra|f|\in L(E)$, 且有 $$\bex \sev{\int_Ef(x)\rd x}\leq \int_E |f(x)|\rd x. \eex$$ 证明: $\ra$ $$\beex \bea f\in L(E) &\ra 0\leq \int_E f^\pm (x)\rd x<+\infty\\ &\ra \int_E|f(x)|\rd x =\int_Ef^+(x)\rd x +\int_E f^-(x)\rd x <+\infty. \eea \eeex$$ $\la$ $$\bex \serd{\ba{ll} |f|\in L(E)\\ f^\pm\leq |f| \ea}\ra \int_E f^\pm(x)\rd x<+\infty\ra f\in L(E), \eex$$ 且 $$\beex \bea \sev{\int_Ef(x)\rd x} &=\sev{\int_E f^+(x)\rd x -\int_Ef^-(x)\rd x}\\ &\leq \int_E f^+(x)\rd x +\int_E f^-(x)\rd x\\ &=\int_E|f(x)|\rd x<+\infty. \eea \eeex$$

(8)$\dps{\serd{\ba{ll} 0\leq g\in L(E)\\ |f|\leq g,\ \ae\mbox{ 于 }E \ea}\ra\sedd{\ba{ll} f\in L(E)\\ \sev{\int_Ef(x)\rd x}\leq \int_E |f(x)|\rd x \leq \int_Eg(x)\rd x \ea}}$.

(9)$\dps{ f\in L(E)        \ra\sedd{\ba{ll} \alpha f\in L(E)\\ \int_E \alpha f(x)\rd x=\alpha \int_E f(x)\rd x \ea}}$. 证明: 当 $\alpha =0$ 时, OK. 当 $\lambda>0$ 时, $$\beex \bea &\quad (\alpha f)^\pm=(\alpha f)^\pm\\ &\ra \int_E (\alpha f)^\pm (x)\rd x =\int_E \alpha f^\pm(x)\rd x =\alpha \int_E f^\pm(x)\rd x\\ &\ra \int_E \alpha f(x)\rd x=\alpha \int_E f(x)\rd x. \eea \eeex$$ 当 $\alpha <0$ 时, $$\beex \bea &\quad(\alpha f)^\pm=|\alpha |f^\mp\\ &\ra \int_E(\alpha f)^\pm(x)\rd x =\int_E |\alpha|f^\mp(x)\rd x =|\alpha |\int_Ef^\mp(x)\rd x\\ &\ra \int_E(\alpha f)(x)\rd x =-|\alpha |\int_Ef(x)\rd x =\alpha \int_Ef(x)\rd x. \eea \eeex$$

(10) $\dps{ f,g\in L(E)  \ra\sedd{\ba{ll} f+g\in L(E)\\ \int_E[f(x)+g(x)]\rd x =\int_E f(x)\rd x +\int_E g(x)\rd x \ea}}$. 证明: 由 $0\leq (f+g)^\pm \leq f^\pm +g^\pm$ 知 $f+g\in L(E)$. 另外, $$\beex \bea &\quad (f^+-f^-)+(g^+-g^-) =f+g=(f+g)^+-(f+g)^-\\ &\ra (f+g)^-+f^++g^+ =(f+g)^++f^-+g^-\\ &\ra \int_E \sez{(f+g)^-(x)+f^+(x)+g^+(x)}\rd x\\ &\quad=\int_E \sez{(f+g)^+(x)+f^-(x)+g^-(x)}\rd x\\ &\quad\sex{\mbox{利用非负可测函数的 Lebesgue 积分的性质}\atop {f=g,\ae\ra \int_Ef(x)\rd x=\int_E g(x)\rd x}}\\ &\ra \int_E[(f+g)^+(x)-(f+g)^-(x)]\rd x\\ &\quad =\int_Ef^+(x)\rd x -\int_E f^-(x)\rd x +\int_E g^+(x)\rd x -\int_E g^-(x)\rd x\\ &\ra \int_E[f(x)+g(x)]\rd x =\int_E f(x)\rd x +\int_E g(x)\rd x \eea \eeex$$

(11)$\dps{f,g\in L(E)     \ra\sedd{\ba{ll} \alpha f+\beta g\in L(E)\\ \int_E [\alpha f(x)+\beta g(x)]\rd x =\alpha\int_E f(x)\rd x +\beta\int_E g(x)\rd x \ea}}$.

(12)积分的绝对连续性 (absolute continuity): $$\bex f\in L(E)\ra {\forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\ \forall\ A\subset E: mA<\delta,\atop\mbox{ 有 }\sev{\int_A f(x)\rd x} \leq \int_A|f(x)|\rd x<\ve.} \eex$$ 证明: $$\beex \bea \sev{\int_A f(x)\rd x} &\leq \int_A|f(x)|\rd x\\ &=\int_A[|f(x)|-\phi(x)]\rd x +\int_A \phi(x)\rd x\\ &\quad\sex{0\leq\phi\leq f:\ \int_E |f(x)|\rd x-\frac{\ve}{2}\leq \int_E \phi(x)\rd x \leq \int_E |f(x)|\rd x}\\ &\leq \frac{\ve}{2} +M\cdot mA\quad\sex{M=\max_E \phi}\\ &\leq \ve\quad\sex{\mbox{只要 }mA<\frac{\ve}{2(M+1)}}. \eea \eeex$$

(13)积分的可数可加性: $$\bex \serd{\ba{ll}E=\cup_{i=1}^\infty E_i,\ E_i\mbox{ 两两不交}\\ f\mbox{ 在 }E\mbox{ 上积分确定} \ea} \ra \int_E f(x)\rd x =\sum_{i=1}^\infty \int_{E_i}f(x)\rd x. \eex$$ 证明: $$\beex \bea \int_E f^\pm(x)\rd x &=\int_E f^\pm(x)\chi_E(x)\rd x\\ &=\int_E f^\pm(x)\sum_{i=1}^\infty \chi_{E_i}(x)\rd x\\ &=\sum_{i=1}^\infty \int_E f^\pm(x)\chi_{E_i}(x)\rd x\\ &=\sum_{i=1}^\infty \int_{E_i}f^\pm (x)\rd x. \eea \eeex$$

(14)Lebesgue 控制收敛: $$\bex \serd{\ba{ll} |f_i|\leq F,\quad F\in L(E)\\ f_i\to f,\ae\mbox{ 于 }E \ea}\ra\sedd{\ba{ll} \lim_{i\to\infty}\int_E|f_i(x)-f(x)|\rd x=0\\ \lim_{i\to\infty}\int_E f_i(x)\rd x =\int_E f(x)\rd x. \ea} \eex$$ 证明: $$\beex \bea &\quad |f_i-f|\leq 2F\\ &\ra 2F-|f_i-f|\geq 0\\ &\ra \int_E \varliminf_{i\to\infty} [2F(x)-|f_i(x)-f(x)|]\rd x \leq \varliminf_{i\to\infty} \int_E[2F(x)-|f_i(x)-f(x)|]\rd x\\ &\ra \varlimsup_{i\to\infty}\int_E |f_i(x)-f(x)|\rd x=0. \eea \eeex$$

(15)依测度控制收敛: $$\bex \serd{\ba{ll} |f_i|\leq F,\quad F\in L(E)\\ f_i\ra f \ea}\ra\sedd{\ba{ll} \lim_{i\to\infty}\int_E|f_i(x)-f(x)|\rd x=0\\ \lim_{i\to\infty}\int_E f_i(x)\rd x =\int_E f(x)\rd x. \ea} \eex$$ 证明: 用反证法. 若 $\dps{\lim_{i\to\infty}\int_E|f_i(x)-f(x)|\rd x=0}$ 不成立, 则 $$\bee\label{5.4:converge_in_measure_control} \exists\ \ve_0>0,\ \sed{i_j},\st \int_E|f_{i_j}(x)-f(x)|\rd x\geq \ve_0. \eee$$ 对 $\sed{f_{i_j}}$, 由 $f_{i_j}\ra f$ 及 Riesz 定理知 $$\bex \exists\ \sed{i_{j_k}},\st f_{i_{j_k}}\to f,\ae\mbox{ 于 }E. \eex$$ 由 Lebesgue 控制收敛, $$\bex \lim_{k\to\infty}\int_E|f_{i_{j_k}}(x)-f(x)|\rd x=0. \eex$$ 这与 \eqref{5.4:converge_in_measure_control} 矛盾. 故有结论.

(16)逐项积分:$$\bex \serd{\ba{ll} f_i\in L(E)\\ \sum_{i=1}^\infty \int_E|f_i(x)|\rd x<+\infty \ea}\ra\sedd{\ba{ll} \sum_{i=1}^\infty f_i(x),\ae \mbox{ 收敛, 于 }E\\ \int_E\sum_{i=1}^\infty f_i(x)\rd x =\sum_{i=1}^\infty \int_Ef_i(x)\rd x. \ea} \eex$$ 证明: 取 $\dps{F(x)=\sum_{i=1}^\infty |f_i(x)|}$, 则 $$\beex \bea &\quad \int_EF(x)\rd x =\sum_{i=1}^\infty \int_E|f_i(x)|\rd x<+\infty\\ &\ra F\in L(E)\\ &\ra F\ae\mbox{ 有限, 于 }E\\ &\ra \sum_{i=1}^\infty |f_i|\mbox{ 收敛, 于 }E. \eea \eeex$$ 另外, $$\beex \bea \int_E\sum_{i=1}^\infty f_i(x)\rd x &=\int_E\lim_{j\to\infty}\sum_{i=1}^j f_i(x)\rd x\\ &=\lim_{j\to\infty}\sum_{i=1}^j \int_E f_i(x)\rd x\quad\sex{\mbox{Lebesgue 控制收敛}}\\ &=\sum_{i=1}^\infty \int_Ef_i(x)\rd x. \eea \eeex$$

(17)求导与积分交换次序: 设 $f(x,t)$ 是 $E\times (a,b)$ 上的实函数, 则 $$\bex \serd{\ba{ll} f(\cdot,t)\in L(E),\quad \forall\ t\\ f(x,\cdot)\mbox{ 可导}, \sev{\frac{\p f}{\p t}(x,\cdot)}\leq F(x),\ae\mbox{ 于 }E,\quad F\in L(E) \ea}\\ \ra \frac{\rd}{\rd t}\int_E f(x,t)\rd x =\int_E \frac{\p}{\p t}f(x,t)\rd x. \eex$$ 证明: $$\beex \bea \frac{\int_E f(x,t+h_i)\rd x-\int_Ef(x,t)\rd x}{h_i} &=\int_E \frac{f(x,t+h_i)-f(x,t)}{h_i}\rd x\\ &\to \int_E \lim_{i\to\infty}\frac{f(x,t+h_i)-f(x,t)}{h_i}\rd x\\ &=\int_E\frac{\p f}{\p t}(x,t)\rd x. \eea \eeex$$

 

3例 (连续函数 $L^1$ 逼近): $$\bex f\in L[a,b]\ra \forall\ \ve>0,\ \exists\ g\in C[a,b],\st \int_{[a,b]}|f(x)-g(x)|\rd x<\ve. \eex$$ 证明: $$\beex \bea f\in L[a,b]&\ra \int_{[a,b]}f^\pm(x)\rd x<+\infty\\ &\ra \exists\ 0\leq \phi^{(\pm)}\leq f^\pm:\st \int_{[a,b]}[f^\pm (x)-\phi^{(\pm)}(x)]\rd x<\frac{\ve}{4}\\ &\ra \int_{[a,b]}|f(x)-\phi(x)|\rd x<\frac{\ve}{2}\quad\sex{\phi=\phi^{(\pm)}-\phi^{(\pm)}}. \eea \eeex$$ 又对 $\phi$, 由 Lusin 定理, $$\bex \forall\ \delta>0,\ \ba{ll} \exists\ F\subset[a,b], m([a,b]\bs F)<\delta;\\ \exists\ g\in C[a,b],\ g|_F=\phi,\ \max_{[a,b]}|g|\leq \max_{[a,b]}|\phi|\equiv M. \ea \eex$$ 于是 $$\beex \bea \int_{[a,b]}|\phi(x)-g(x)|\rd x &=\int_{[a,b]\bs F}|\phi(x)-g(x)|\rd x\\ &\leq 2M \cdot m([a,b]\bs F)\\ &\leq 2M\cdot \delta\\ &\leq \frac{\ve}{2}\quad\sex{\mbox{取 }\delta=\frac{\ve}{1+4M}}. \eea \eeex$$ 因而, $$\bex \int_{[a,b]}|f(x)-g(x)|\rd x<\ve. \eex$$