本文出处：http://blog.csdn.net/xizhibei
http://www.cnblogs.com/bourneli/p/3624073.html
PrincipalComponents Analysis，主成份分析
寻找最小均方意义下，最能代表原始数据的投影方法
然后自己的说法就是：主要用于特征的降维
另外，这个算法也有一个经典的应用：人脸识别。这里稍微扯一下，无非是把处理好的人脸图片的每一行凑一起作为特征向量，然后用PAC算法降维搞定之。
PCA的主要思想是寻找到数据的主轴方向，由主轴构成一个新的坐标系，这里的维数可以比原维数低，然后数据由原坐标系向新的坐标系投影，这个投影的过程就可以是降维的过程。
推导过程神马的就不扯了，推荐一个课件：http://www.cs.otago.ac.nz/cosc453/student_tutorials/principal_components.pdf，讲得挺详细的
然后说下算法的步骤
1.计算所有样本的均值m和散布矩阵S，所谓散布矩阵同协方差矩阵；2.计算S的特征值，然后由大到小排序；3.选择前n'个特征值对应的特征矢量作成一个变换矩阵E=[e1, e2, …, en’]；4.最后，对于之前每一个n维的特征矢量x可以转换为n’维的新特征矢量y：y = transpose(E)(x-m)
最后还得亲自做下才能记得住：用Python的numpy做的，用C做的话那就是没事找事，太费事了，因为对numpy不熟，下面可能有错误，望各位大大指正
- mat = np.load("data.npy")#每一行一个类别数字标记与一个特征向量
- data = np.matrix(mat[:,1:])
- avg = np.average(data,0)
- means = data - avg
- tmp = np.transpose(means) * means / N #N为特征数量
- D,V = np.linalg.eig(tmp)#DV分别对应特征值与特征向量组成的向量，需要注意下的是，结果是自动排好序的，再次膜拜numpy OTL
- #print V
- #print D
- E = V[0:100,:]#这里只是简单取前100维数据，实际情况可以考虑取前80%之类的
- y = np.matrix(E) * np.transpose(means)#得到降维后的特征向量
- np.save("final",y)
另外，需要提一下的是OpenCV（无所不能的OpenCV啊OTL）中有PCA的实现：
- void cvCalcPCA( const CvArr* data,//输入数据
- CvArr* avg, //平均（输出）
- CvArr* eigenvalues, //特征值（输出）
- CvArr* eigenvectors, //特征向量（输出）
- int flags );//输入数据中的特征向量是怎么放的，比如CV_PCA_DATA_AS_ROW
最后，说下PCA的缺点：PCA将所有的样本（特征向量集合）作为一个整体对待，去寻找一个均方误差最小意义下的最优线性映射投影，而忽略了类别属性，而它所忽略的投影方向有可能刚好包含了重要的可分性信息
PCA假设
1. 变量符合高斯分布（正太分布）
2. 变量之间的影响是线性的，也就是可以通过线性变化将数据还原成主要因数
3. 协方差最大的元素对应的转换向量越重要
4. 转换矩阵是正交的
PCA的整个推导过程都是遵循上面的四条假设，如果违反了这些假设，PCA可能作用不大，甚至有反作用，所以使用PCA时需要谨慎。
PCA最佳实践
- 压缩数据，主成份一般在90%，95%和99%几档，根据实际需要选取
- 加速模型建模，缩短时间（PCA处理后，建模，需要保留转换向量P，并用P处理预测数据）
- 可视化，如果前两个或三个数据可以表示90%以上的成分，那么可以进行可视化
- PCA处理数据之前需要去报每个列的均值为0（mean normalization），同时需要确保量纲相同(scaling)，否则数值较大的几个变量会占据主要成分。
- 不要将PCA作为解决过拟合的方法，虽然使用PCA后，确实可以减少过拟合，但是原因可能是feature减少了。采用regulations缓解过拟合。
- 设计ML系统时，不要一开始就期望使用PCA，提高模型性能。只有当所有非PCA方法无法达到效果时，在使用PCA。PCA处理数据时没有考虑到y，会损失部分有价值信息
参考资料
[1] PCA*
[2] PCA R示例（英文）
[4] 最后那幅宇宙图片的例子很形象
[5] Google研究员Jon Shlens的PCA原理介绍论文（英文）