补码(为什么按位取反再加一):告诉你一个其实很简单的问题

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首先,阅读这篇文章的你,肯定是一个在网上已经纠结了很久的读者,因为你查阅了所有你能查到的资料,然后他们都会很耐心的告诉你,补码:就是按位取反,然后加一。准确无误,毫无破绽。但是,你搜遍了所有俯拾即是而且准确无误的答案,却仍然选择来看这篇毫不起眼的文章,原因只有一个,只因为你还没有得到你想要的东西。
因为你想要的,不是1+1=2,而是,1+1为什么等于2。当然,我们不讨论1+1的问题。我们讨论的,是补码。
你已经困惑了很久,你明明知道补码就是按位取反,然后加一,但是你想知道的,不是它怎么求滴,而是,它怎来滴。当然,对于阅读这篇文章的你,既然想要知道这个答案,一定是有一定编程基础的读者,肯定知道补码与有符号数与无符号数的关系(有符号数指带有正负号的数,无符号可以理解为只大于0的数),你所查阅的所有资料首先都会用一个8位的二进制数给你举例,ok,我们也用一个8位的二进制数。
8位二进制数,最小00000000,最大数11111111,换算十进制为0 ~ 255,当然,所有的参考资料都会这样讲,而且这也不是你想要的,但我们必须说下去。1 ~ 255,一共255的字符,再加上最前面的0,一共256个字符。现在,我们要用一个8位二进制数字来表示一个负数,可是二进制里没有负号,谁都知道二进制里只有0,1,再无其他符号。那么所以我们必须用一种方式来代替正负,也就是我们规定,当然是人规定的,而不是电脑,我们规定这个8位的二进制数的最前面一位数来表示这个数的正负,0代表是正,1代表是负。那么当第一位是0时,我们一共可以表示00000000 ~ 01111111这么多正数,因为第一位必须是0来代表正数;当第一位是1时,我们一共可以表示10000000 ~ 11111111这么多负数,然后,我们用00000000 ~ 01111111来代表0 ~ 127,那岂不是10000000~11111111代表 -0 ~ -127??可是网上都说不能有 负0,可是我觉的没什么不妥啊,负0不还是0 吗?10-0=10,不就是相当于10+(-0)=10吗,现在我们不讨论正负0的问题,我们来讨论一个小学生的问题。
我们现在要把00000000~11111111分成两组数,一组是正数,另一组是负数,正数是0,1,2,3,4,5,6,7,8,… 负数是 -1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,… 那么这里就有一个小学问题,那就是1+(-1)肯定要等于0,2+(-2)=0,他们是相反数,相加等于0,小学生都会。后面都是一样,那么现在我们使用上面的编码的方式进行一个计算,现在上面的编码中 1 对应的二进制是00000001,-1对应的二进制是10000001,然后你把这俩二进制数加起来,看看等于几,对,答案是10000010,不是00000000,也不是10000000, 10000010在上面的编码中代表 -2,00000000和10000000都在上面代表0,可是结果并不是他们。而00000001与10000001分别对应着1和-1,加起来理论的结果应该是0才对,也就是说上面的编码是错误的。
或许接下来很多资料又讨论了反码,但是我们不,我们来求一个一元一次函数,一个小学的函数,1+x=0,求x=?,答:-1。没错,而且准确无误。那么现在问题来了,前面的正数编码应该是没有错的,00000000代表0, 00000001代表1,这些都符合我们的习惯,那么出错的是在后面的负数编码上,我们到底该如何编码对应负数编码它才能正确呢,因为我们知道1+(-1)必须等于0,也就是他们对应的二进制相加也必须等于0,1对应00000001,那么00000001+x=00000000,里面的x就应该代替 -1的二进制编码才对,这样,我们得到 x=11111111,大家看一下这和按位取反,然后加一的结果一样吗。
所以我们的结论是,一个正数对应的负数(也就是俩相反数),这两个数的二进制编码加起来必须等于0才对,所以我们只要知道其中一个数的编码x,然后用0-x就是他对应的数的编码,这样的话,从0 ~ 127,我们用(0 - 其中一个二进制数的编码)=(另一个二进制数的编码),例如 2 的二进制编码是00000010,那么-2 的二进制编码就是0 - 00000010=11111110,因为他就应该这样,因为它就是一个小学问题,他俩加起来就应该等于0。那么1000000对应的编码是多少呢,当然也必须满足加起来等于0才行,那么10000000+x=0,求解x,答x=10000000,还是它本身,也就是在00000000~11111111这个范围里所有的二进制数都无法满足它,也就是没有一个数加上它等于0,但是两个数要有对应的编码,就必须加起来等于0才行,其实不止它没有,0也没有,0+x=0,那么x=0,也是它本身,既然这样了,那么也没有办法了,无可奈何只能做单身汉了,然后我们规定,既然10000000第一位是1,代表负数,那么我们规定它是一个负数,那么10000000就代替了-128,而且,它只自己一个人,也就是只有-128,没有正数128。
然后,他们每个数都有了自己对应的编码,而且准确无误。1 ~ 127对应-1~ -127,再加上两个单身汉0和-128。然后呢,不知道谁起的名字,就把这种编码叫做了补码,如果你乐意,你也可以给它起个名字。但是呢,还有一个问题,为什么补码的求法是按位取反再加一呢,其实当你不明白为什么各大书籍都要用按位取反来计算补码的时候,我们完全可以直接用0减去它就得到他相反数的二进制编码了,譬如随便一个十六进制数 6C ,那么我们可以直接0-6C就得到他的相反数的补码了,结果为十六进制的94,跟按位取反再加一的效果一样。
现在我们知道补码是怎么来的了,也就是为了保证两个相反数对应二进制的和必须是0,然后又不知道谁给它起了补码这个名字。补码补码,有没有感觉两个相反数是互补的呢,也就是任意两个相反数加起来一定等0,其中一个数变大,另一个就一定会变小互补保证结果为0。但是你肯定还在纠结,为啥要按位取反,为啥还要加一呢。其实,这涉及到一个二进制减法的问题,你既然知道补码这个概念,就一定会知道有进位丢失这么个东西。现在我们知道了补码是怎么来的,也就是(00000000 - 其中一个正数的补码)=(这个数相反数的补码),那么我们知道了1的二进制是00000001,那么我们来求-1的补码,也就是应该00000000 - 00000001=?,我们该怎么计算这个二进制减法呢,而且还是一个小数减去大数,连借位都没地方借,前面我们提到进位丢失这个东西,那么我们来计算一个算式,11111111+00000001=?知道进位丢失的你,肯定知道加起来后等于00000000,虽然结果应该是100000000(后面是8个0),但是只能有8位,所以最高位的1丢失了,那么现在好了,也就是说,我们可以把00000000看做(11111111+00000001)因为他俩是相等的,我们已经计算过的了,那么我们现在就可以把前面讲的公式中的00000000换成(11111111+00000001),也就是我们要计算-1的补码,我们就0-1的编码,也就是00000000-00000001,也就是(11111111+00000001)-00000001=(-1的补码),这个算式我觉的你应该会计算了,大数减小数,到现在,或许你现在已经发现什么了,是的,你发现了之前一直迷惑你的一个东西,“按位取反再加一”,但是可能还有一点迷惑,我们继续,因为我们每次都是用一个0减去一个数的补码来得到另一个数的补码,也就是里面的(11111111+00000001)是不变的,因为它就是0,那么我们现在要求一个数的补码,就是(11111111+00000001)- 一个数的补码=它相反数的补码,咱们把括号去掉,也就是11111111 - 一个数的补码+00000001=它相反数的补码,这是加法交换法则,只是把位置交换一下,小学生都会的,然后呢再加个括号方便我们理解,也就是(1111111 - 一个数的补码)+00000001=它相反数的补码。好了,问题来了,(11111111 - 一个数的补码)的结果是什么,这个你心里应该是清楚的,你也可以算一下,它正好的等于它的反码,也就是按位取反的一个数,其实也好理解,你减几个数就看见规律了,描述好麻烦,现在好了,也就是(11111111 - 一个数的补码)=这个数的反码,也就是(11111111 - 一个数的补码)=把这个数按位取反,到现在,你应该你已经很清楚他是怎么来的了。
那么我们现在就可以把公式写成这样,(11111111 - 一个数的补码)+00000001=它相反数的补码,现在我们知道了(11111111 - 一个数的补码)=把这个数按位取反,然后把公式里的(11111111 - 一个数的补码)换成 “按位取反”,也就是 (按位取反)+000000001=它相反数的补码,现在,按位取反,再加一,就终于出来了,这就是各大书籍资料所讲的,补码=按位取反+1…。好了,真相大白
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