bzoj 3130 [Sdoi2013]费用流(二分,最大流)

Description

Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。
    最大流问题:给定一张有向图表示运输网络,一个源点S和一个汇点T,每条边都有最大流量。一个合法的网络流方案必须满足:(1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负;(2)除了源点S和汇点T之外,对于其余所有点,都满足该点总流入流量等于该点总流出流量;而S点的净流出流量等于T点的净流入流量,这个值也即该网络流方案的总运输量。最大流问题就是对于给定的运输网络,求总运输量最大的网络流方案。

bzoj 3130 [Sdoi2013]费用流(二分,最大流)
  上图表示了一个最大流问题。对于每条边,右边的数代表该边的最大流量,左边的数代表在最优解中,该边的实际流量。需要注意到,一个最大流问题的解可能不是唯一的。    对于一张给定的运输网络,Alice先确定一个最大流,如果有多种解,Alice可以任选一种;之后Bob在每条边上分配单位花费(单位花费必须是非负实数),要求所有边的单位花费之和等于P。总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到,Bob在分配单位花费之前,已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小,而Bob希望总费用尽量大。我们想知道,如果两个人都执行最优策略,最大流的值和总费用分别为多少。

Input

第一行三个整数N,M,P。N表示给定运输网络中节点的数量,M表示有向边的数量,P的含义见问题描述部分。为了简化问题,我们假设源点S是点1,汇点T是点N。
    接下来M行,每行三个整数A,B,C,表示有一条从点A到点B的有向边,其最大流量是C。

Output

第一行一个整数,表示最大流的值。
第二行一个实数,表示总费用。建议选手输出四位以上小数。

Sample Input

3 2 1
2 3 1 5

Sample Output

10
10.0000

HINT

【样例说明】

对于Alice,最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。

对于Bob,给第一条边分配0.5的费用,第二条边分配0.5的费用。总费用

为:10*0.5+10*0.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。

【数据规模和约定】

对于20%的测试数据:所有有向边的最大流量都是1。

对于100%的测试数据:N < = 100,M < = 1000。

对于l00%的测试数据:所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流

量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。

【思路】

二分,最大流

如果已知一个最大流网络,Bob就可以将p的费用全部放在最大边上使得总费用最大,因此Alice就要选一个最大边最小的最大流。

先求出最大流maxflow,然后二分最大边,如果依然可以跑出maxflow的最大流量说明可行。

【代码】

 #include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
using namespace std; const int N = ;
const double INF = 1e9;
const double eps = 1e-; struct Edge {
int u,v; double cap,flow;
}; struct Dinic {
int n,m,s,t,d[N],cur[N],vis[N];
vector<Edge> es;
vector<int> g[N];
queue<int> q;
void init(int n) {
this->n=n;
es.clear();
for(int i=;i<=n;i++) g[i].clear();
}
void clear() {
for(int i=;i<es.size();i++) es[i].flow=;
}
void AddEdge(int u,int v,double w) {
es.push_back((Edge){u,v,w,});
es.push_back((Edge){v,u,,});
int m=es.size();
g[u].push_back(m-); g[v].push_back(m-);
}
bool bfs() {
memset(vis,,sizeof(vis));
vis[s]=; d[s]=; q.push(s);
while(!q.empty()) {
int u=q.front(); q.pop();
for(int i=;i<g[u].size();i++) {
Edge& e=es[g[u][i]];
int v=e.v;
if(e.cap>e.flow && !vis[v]) {
vis[v]=; d[v]=d[u]+;
q.push(v);
}
}
}
return vis[t];
}
double dfs(int u,double a) {
if(u==t || fabs(a)<eps) return a;
double flow=,f;
for(int& i=cur[u];i<g[u].size();i++) {
Edge& e=es[g[u][i]];
int v=e.v;
if(d[v]==d[u]+ && (f=dfs(v,min(a,e.cap-e.flow)))>) {
flow+=f; a-=f;
e.flow+=f;
es[g[u][i]^].flow-=f;
if(fabs(a)<eps) break;
}
}
return flow;
}
double Maxflow(int s,int t) {
this->s=s; this->t=t;
double flow=;
while(bfs()) {
memset(cur,,sizeof(cur));
flow+=dfs(s,INF);
}
clear();
return flow;
}
} dc; int n,m,p; double maxflow; Edge te[N*N];
bool can(double M) {
for(int i=;i<dc.es.size();i++)
te[i]=dc.es[i],dc.es[i].cap=min(dc.es[i].cap,M);
double ans=dc.Maxflow(,n);
for(int i=;i<dc.es.size();i++)
dc.es[i]=te[i];
return fabs(ans-maxflow)<eps;
} int main() {
scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
dc.init(n);
int u,v; double w,L=,R;
FOR(i,,m) {
scanf("%d%d%lf",&u,&v,&w);
dc.AddEdge(u,v,w); R=max(R,w);
}
maxflow=dc.Maxflow(,n);
while((R-L)>eps) {
double M=(L+R)*0.5;
if(can(M)) R=M; else L=M;
}
printf("%.0f\n%.4f",maxflow,(double)p*L);
return ;
}
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