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极限与连续
当 x → a x \to a x→a时, f ( x ) f(x) f(x)时 x − a x - a x−a的 n n n阶无穷小
lim
x
→
a
f
(
x
)
(
x
−
a
)
n
=
A
\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{(x-a)^n}=A
limx→a(x−a)nf(x)=AA=0时表示是高阶无穷小
f ( x ) f(x) f(x)在 x = a x=a x=a处连续
lim x → a f ( x ) = f ( a ) \lim_{x \to a}f(x)=f(a) limx→af(x)=f(a)
分段函数与间断
导数定义
f
′
(
x
0
)
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
f'(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
f′(x0)=limx→x0x−x0f(x)−f(x0)
左右导数和左右极限
f
(
x
)
=
g
(
x
)
(
x
−
a
)
(
x
−
b
)
f(x)=\frac{g(x)}{(x-a)(x-b)}
f(x)=(x−a)(x−b)g(x)中
x
=
a
x=a
x=a 和
x
=
b
x=b
x=b 必定为间断点
如果
x
=
a
x=a
x=a是无穷间断点, 则
g
(
a
)
≠
0
g(a) \neq 0
g(a)=0; 如果
x
=
b
x=b
x=b是可去间断点, 则
lim
x
→
b
g
(
x
)
x
−
b
=
0
\lim_{x\to b}\frac{g(x)}{x-b}=0
limx→bx−bg(x)=0
周期函数与奇偶性
谈到 f ( x ) f(x) f(x)的周期性和奇偶性, 首先想到 f ′ ( x ) , F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t f'(x), F(x)=\int_a^x f(t)dt f′(x),F(x)=∫axf(t)dt的奇偶性, 其次是 f ( x ) f(x) f(x)的函数图像