最近在看"Machine Learning A Probability Perspective"的逻辑回归，因为涉及了些优化算法，一起看书的伙伴们就决定把"Convex Optimization"讲优化算法的内容看一下。
在阅读以下内容之前，要记住问题的出发点，即给定无约束的凸问题该用什么方法求得最优解（这里假设问题是求最小值）？各种方法有什么性质，之间有什么差异。
也许最先想到的方法就是对变量求梯度，让它等于\(0\)的变量值就是最优解。没错，这样的方法很简单，但是当求导过程过于复杂的时候该怎么办呢？也许你还知道梯度下降，牛顿法等等。如果你对这些方法没有听说过，或者还想知道更多，那接着阅读下去吧，当然最好还是建议你看一下原书。
最近正在忙毕设（好慌，QAQ！），看的内容比较少，这次内容包括：
- 强凸及其性质
- 下降方法求解的框架
- 梯度下降算法收敛性分析
- 最速下降法
- 牛顿方法
强凸及其性质
函数强凸是说在凸集\(\rm{S}\)中，对于\(\forall \mathbf{x}\in \rm S\)均有下式成立：
\[
\nabla^2 f(\mathbf{x}) \succcurlyeq m \, \mathbf I
\]
其中\(m>0\)，将上式带入到函数的泰勒展开式
\[
f(\mathbf y)=f(\mathbf{x})+\nabla f(\mathbf x)^T(\mathbf y-\mathbf x)+\frac{1}{2}(\mathbf y-\mathbf x)^T\nabla^2f(\mathbf x)(\mathbf y-\mathbf x)
\]
得到
\[
f(\mathbf y)\geq f(\mathbf x)+\nabla f(\mathbf x)^T(\mathbf y-\mathbf x)+\frac{m}{2}\Vert\mathbf y-\mathbf x\Vert_2^2 \tag 1 \label{eq:1}
\]
在等式右边对\(\mathbf y\)求梯度，得到：
\[
\mathbf y - \mathbf x=-\frac{1}{m}\nabla f(\mathbf x)
\]
带入得到
\[
f(\mathbf y)\geq f(\mathbf x)-\frac{1}{2m}\Vert\nabla f(\mathbf x)\Vert^2_2 \tag{2} \label{eq:2}
\]
令\(\mathbf y=\mathbf x^*\)，可以得到\(\nabla f(\mathbf x)\)的下界
\[
\Vert \nabla f(\mathbf x)\Vert_2^2\geq 2m(f(\mathbf x)-p^*)
\]
可以看到，当某一点的梯度越小时，其越接近最优点，而这与最优点梯度为0的常识相符合。因此也可以用\(\Vert \nabla f(\mathbf x)\Vert_2^2\leq\epsilon\)当作收敛条件。
将\(\mathbf x^*\)带入到\(\eqref{eq:1}\)中，再利用柯西施瓦茨不等式得到：
\[
f(\mathbf x^*)\geq f(\mathbf x)-\Vert \nabla f(\mathbf x) \Vert_2\Vert\mathbf x^*-\mathbf x \Vert_2+\frac{m}{2}\Vert\mathbf x^* - \mathbf x\Vert_2^2
\]
可以得到
\[
\Vert \mathbf x - \mathbf x^*\Vert_2 \leq \frac{2}{m}\Vert \nabla f(\mathbf x)\Vert_2
\]
即通过\(\Vert \nabla f(\mathbf x)\Vert_2\)可以得到\(\mathbf x\)和\(\mathbf x^*\)的差距上界。
一般而言\(\rm S\)被当做是下子集，是有界的，故存在\(M>0\)使得\(\forall \mathbf x\in \rm S\)满足
\[
\nabla^2f(\mathbf x)\preceq M\mathbf I
\]
使用相同的方法，可以得到：
\[
f(\mathbf y)\preceq f(x)+\nabla f(\mathbf x)^T(\mathbf y-\mathbf x)+\frac{M}{2}\Vert\mathbf y- \mathbf x \Vert_2^2\\
p^* \preceq f(\mathbf x)-\frac{1}{2M}\Vert \nabla f(\mathbf x)\Vert_2^2
\]
定义\(\kappa = \frac{M}{m}\)为\(\rm S\)的\(\textit condition \, number\)，\(\textit condition \, number\)会在之后的收敛性分析中扮演重要的角色。\(\nabla^2 f(\mathbf x)\)是实对称矩阵，可以看出\(\textit condition\, number\)可以看作\(\nabla^2f(\mathbf x)\)在\(\forall \mathbf x \in \rm S\)中最大特征值和最小特征值的比值。关于条件数和几何解释的衔接还在考虑怎么写
下面对\(\textit condition \, number\)进行几何解释，设凸集合\(C\)的沿某一方向上的宽度为
\[
W(C,q)=\sup_{z\in C}q^Tz-\inf_{z\in C}q^Tz
\]
集合\(C\)在不同方向上的最大最小宽度如下：
\[
W_{\min}=\inf_{\vert q\vert_2=1}W(C,q)\\
W_{\max}=\sup_{\vert q\vert_2=1}W(C,q)
\]
而\(condition\, number\)为\(W_{max}^2/W_{min}^2\)，从而可以看出\(condition\, number\)越小说明集合\(C\)越圆，反之则其各项异性比较大。
对于\(\alpha\)-sublevel子集\(C_{\alpha}=\{\mathbf x\vert f(\mathbf x)\leq\alpha\}\)，根据\(\eqref{eq:2}\)和类似的式子可得
\[
p^*+\frac{M}{2}\Vert\mathbf x^*-\mathbf y \Vert_2^2\geq f(\mathbf y)\geq p^*+\frac{m}{2}\Vert\mathbf x^*-\mathbf y \Vert_2^2
\]
再利用\(\alpha \geq f(\mathbf y)\)，则\(\alpha \geq p^*+\frac{m}{2}\Vert\mathbf x^*-\mathbf y \Vert_2^2\)。当\(\mathbf y\)趋近于\(\mathbf x^*\)时，\(p^*+\frac{M}{2}\Vert\mathbf x^*-\mathbf y \Vert_2^2\)趋近于\(p^*\)，此时\(\alpha \geq p^*+\frac{M}{2}\Vert\mathbf x^*-\mathbf y \Vert_2^2\)可以求得部分\(\mathbf y\)的范围。上述两个不等式可以得到：
\[
B_{inner}=\{\mathbf y\vert \Vert \mathbf y-\mathbf x^* \Vert_2^2\leq \frac{2}{M}(\alpha-p^*)\}\\
B_{outer}=\{\mathbf y\vert \Vert \mathbf y-\mathbf x^* \Vert_2^2\leq \frac{2}{m}(\alpha-p^*)\}
\]
可见\(\alpha\)下子集在\(B_{inner}\)和\(B_{outer}\)之间，则根据几何解释\(\textbf{cond}(C_{\alpha})\leq \frac{M}{m}\)。这样，\(condition \, number\)和下子集的形状联系了起来。
当\(\alpha\)趋近于\(\mathbf x^*\)时，根据泰勒展开，其梯度可以认为是0，得到下子集\(C_\alpha\)
\[
C_\alpha = \{\mathbf y|(\mathbf y - \mathbf x^*)^T\nabla^2f(\mathbf x)(\mathbf y - \mathbf x^*)\leq 2(\alpha - p^*)\}
\]
可以看到此时的下子集\(C_\alpha\)接近为\(\nabla^2 f(\mathbf x^*)\)的椭球，此时的\(\textbf{cond}(C_{\alpha})=\kappa{\nabla^2 f(\mathbf x^*)}\)。