浅谈泰勒展开

参考:https://www.zhihu.com/question/25627482/answer/313088784

极度生草

泰勒展开式:\(f(x)=\sum_i \frac{f^n(x0)}{i!}(x-x0)^i\)

意义是构造一个函数\(g(x)\),使得\(g^i(x0)=f^i(x0)\;,i\in[1,\infty)\)

那么对上面的式子求i次导,发现i-1及以前的都被导没了,i+1即以后的求导后一定存在\((x-x0)\),代入\(x=x0\)时为0,第i项求导后只有最高位的影响会被保留,即乘i!

所以\(g^i(x0)=f^i(x0)\;,i\in[1,\infty)\)成立

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