目录

• 概念和性质
  • 级数的概念
  • 级数的性质
• 级数的审敛准则
  • 正项级数
  • 交错级数
  • 任意项级数
    • 绝对收敛和条件收敛的概念
    • 绝对收敛和条件收敛的基本结论

概念和性质

级数的概念

\[\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}=u_1+u_2+u_3+\cdots +u_n+\cdots \]

令\(S_n=\sum_{n=1}^n{u_i}\)称为部分和数列

若级数，即\(\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\)的部分和数列\(\left\{ s_n \right\}\)有极限\(s\)，即

\[\lim_{n\rightarrow \infty}s_n=s \]

则称级数\(\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\)收敛，否则级数发散

级数的性质

• 若\(\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\)收敛于\(s\)，则\(\sum_{n=1}^{\infty}{ku_n}\)也收敛，且其和为ks
• 若\(\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\)和\(\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\)分别收敛于\(s,\sigma\)，则\(\sum_{n=1}^{\infty}{\left( u_n\pm v_n \right)}\text{也收敛，其和为}s\pm \sigma\)

收敛+收敛=收敛 收敛+发散=发散 发散+发散=不确定

• 在级数中去掉、加上或改变有限项不影响级数的敛散性
• 收敛级数加括号仍收敛且和不变

一个级数加括号收敛，原级数不一定收敛
一个级数加括号后发散，则原级数一定发散

• (级数收敛的必要条件)\(\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\)收敛的必要条件是\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}u_n=0\)

级数的审敛准则

正项级数

\(\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\)收敛\(\Leftrightarrow S_n上有界\)

• 比较判别法

若\(u_n\le v_n\)，则\(\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{收敛} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{收敛}\)，\(\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{发散} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{发散}\)

• 比较法极限形式

设\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{u_n}{v_n}=l\)

①若0<l<+∞，则\(\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\)和\(\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\)同敛散
②若l=0，则\(\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{收敛} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{收敛}\)，\(\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{发散} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{发散}\)
③若l=∞，则\(\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{发散} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{发散}\)，\(\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{收敛} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{收敛}\)

两个常用级数：
①\(\sum_{n=1}^{\infty}{aq^n}\left( a,q>0 \right) ,q<1\text{时收敛,当}q\ge 1\text{时发散}\)
②\(\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^p}},p>1\text{时收敛,当}p\le 1\text{时发散}\)

• 比值判别法
  设\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\)，则

\[\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\left\{ \begin{array}{l} \text{发散，}\rho >1\\ \text{收敛, }\rho <1\\ \text{不确定，}\rho =0\\ \end{array} \right. \]

• 根值法
  设\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[n]{n}=\rho\)，则

\[\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\left\{ \begin{array}{l} \text{发散，}\rho >1\\ \text{收敛, }\rho <1\\ \text{不确定，}\rho =0\\ \end{array} \right. \]

一般通项中出现aⁿ,nⁿ,n!往往用比值法和根值法，其余一般用比较判别

交错级数

莱布尼茨准则：若
①\(u_n\ge u_{n+1}\)
②\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}u_n=0\)
则级数\(\sum_{n=1}^{\infty}{\left( -1 \right) ^{n-1}u_n}\)收敛

任意项级数

绝对收敛和条件收敛的概念

• 若\(\sum_{n=1}^{\infty}{\left| u_n \right|}\)收敛，则称级数\(\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\)绝对收敛
• 若\(\sum_{n=1}^{\infty}{\left| u_n \right|}\)发散，\(\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\)收敛，则称级数\(\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\)条件收敛

绝对收敛和条件收敛的基本结论

• 绝对收敛的级数一定收敛
• 条件收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级数一定发散