三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形,已知点\(A\)是椭圆的一个短轴端点,如果以\(A\)为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率的取值范围是\(\underline{\qquad\qquad}\).
解析: \(\triangle ABC\)与椭圆如图所示,不妨设椭圆方程为\[ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,a>b>0.\]

因此原椭圆在新坐标系下的直角坐标方程为\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{2y}{b}=0.\qquad (\ast)\]建立以新坐标系坐标原点\(O\)为极点,以新坐标系的\(x\)轴的正半轴为极轴的极坐标系,设\[\angle CAx=\theta,\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right).\]则\(C,B\)点的极坐标可设为\[C\left(\rho_1,2\pi-\theta\right),B\left(\rho_2,2\pi-\theta-\dfrac{\pi}{2}\right),\]则\(C\)的直角坐标可表示为\[C\left(\rho_1 \cos\theta,-\rho_1 \sin\theta\right),B\left(-\rho_2 \sin\theta,-\rho_2 \cos\theta\right)\]将\(C,B\)两点坐标分别代入方程\((\ast)\),并整理可得\[ \rho_1=\dfrac{\dfrac{2\sin\theta}{b}}{\dfrac{\cos^2\theta}{a^2}+\dfrac{\sin^2\theta}{b^2}},\rho_2=\dfrac{\dfrac{2\cos\theta}{b}}{\dfrac{\sin^2\theta}{a^2}+\dfrac{\cos^2\theta}{b^2}}.\]结合\(\rho_1=\rho_2\)可得关于\(\theta\)的方程\[ \dfrac{b^2}{a^2}\tan^3\theta-\tan^2\theta+\tan\theta-\dfrac{b^2}{a^2}=0,\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right).\]
题意即关于\(\tan\theta\)的方程有三个解,易求得\(\dfrac{b^2}{a^2}\)的取值范围为\(\left(0,\dfrac{1}{3}\right)\),因此所求离心率的取值范围为\(\left(\dfrac{\sqrt{6}}{3},1\right)\).