【BZOJ2431】逆序对数列（动态规划）

题面

Description

对于一个数列{ai}，如果有i＜j且ai＞aj，那么我们称ai与aj为一对逆序对数。若对于任意一个由1~n自然数组成的数列，可以很容易求出有多少个逆序对数。那么逆序对数为k的这样自然数数列到底有多少个？

Input

第一行为两个整数n，k。

Output

写入一个整数，表示符合条件的数列个数，由于这个数可能很大，你只需输出该数对10000求余数后的结果。

Sample Input

4 1

Sample Output

3

题解

考虑一下\(O(n^{3})\)

设\(f[i][j]\)表示\(i\)的排列中逆序对数为\(j\)的数列个数

现在，如果新加一个数\(i+1\)进来

他可以产生的贡献可以是\([0,i]\)

因此，\(f[i][j]=sum(f[i-1][j-k])\)

其中\(k∈[0,i-1]\)

但是这样子会重复算很多相同的东西

导致复杂度变为\(O(n^{3})\)

用一个前缀和记录一下，可以做到\(O(1)\)的转移

从而复杂度变为了\(O(n^{2})\)

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<set>

#include<map>

#include<vector>

#include<queue>

using namespace std;

#define MOD 10000

inline int read()

{

	int x=0,t=1;char ch=getchar();

	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

	if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();

	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();

	return x*t;

}

int n,K;

int f[1100][11000];

int s[11000];

int main()

{

	n=read();K=read();

	f[1][0]=1;

	for(int i=2;i<=n;++i)

	{

		for(int j=1;j<=K+1;++j)s[j]=(s[j-1]+f[i-1][j-1])%MOD;

		for(int j=0;j<=K;++j)

			f[i][j]=(s[j+1]-s[max(j-i+1,0)]+MOD)%MOD;

	}

	printf("%d\n",f[n][K]);

	return 0;

}