二叉树的建立和遍历

二叉树(Binary Tree)是n(n >= 0)个节点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根节点和两颗互不相交的,分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉嘛,也就是每个节点最多有两个分支。

图示:

二叉树的建立和遍历

 

 

 

 

二叉树具有五种基本形态:

1.空二叉树

2.只有一个根节点

3.根节点只有左子树

4.根节点只有右子树

5.根节点既有左子树又有右子树

特殊的二叉树:

1.斜树(只有左子树的称为左斜树,只有右子树的称为右斜树,两者统称为斜树)

2.满二叉树(所有的分支节点都存在左子树和右子树,并且所得树叶都在同一层上)

 

 

 

二叉树的建立和遍历

 

 

 

3.完全二叉树的特征:

1.叶子结点只能出现在最下两层

2.最下层的叶子一定集中在左部连续位置

3.倒数二层,若有叶子结点,一定都在右部连续位置

4.如果节点度为1(这里的度与离散数学中的度不一样,这里的度是指节点所拥有的子树数),则该节点只有左孩子,即不存在只有右子树的情况

5.同样节点数的二叉树,完全二叉树的深度最小

二叉树的性质:

性质1:在二叉树的第i层上至多有2^(i - 1)个节点(i >= 1)

性质2:深度为k的二叉树至多有2^k - 1个节点(k >= 1)

性质3:对任何一颗二叉树T,如果其终端节点数为n0,度为2的节点数为n2,则n0 = n2 + 1

性质4:具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n] + 1([]表示不大于x的最大整数)

性质5:如果对一颗有n个节点的完全二叉树(其深度为[long2n] + 1)的节点按层序编号(从第1层到第[log2n] + 1层,每层从左到右),对任一节点i(1 <= i <= n)有

①如果i = 1,则节点i是二叉树的根,无双亲;如果i > 1,则双亲是节点[i / 2]

②如果2i > n,则节点i无左孩子(节点i为叶子结点);否则其左孩子是节点2i

③如果2i + 1 > n,则节点i无右孩子;否则其右孩子是节点2i + 1

二叉树的存储结构同样分为两种:

一种为二叉树顺序存储结构,另一种为二叉树的链式存储结构

一般顺序存储结构只用于完全二叉树

下面我们来介绍链式存储结构的二叉树,,,

二叉链表:有一个数据域和两个指针域

以下代码实现二叉树的建立与遍历(其中有求节点为1的个数)

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int cn=0;
//二叉树链表的存储结构,抄作业的同学把其他遍历方式删掉
typedef struct BiTNode
{
    char data;
    //节点数据
    struct BiTNode *lchild, *rchild;
    //左右孩子指针
} BiTNode, *BiTree;
//二叉树的建立
void CreatBiTree(BiTree &T)
{
    char ch;
    cin >> ch;
    if (ch == '#')
        T = NULL;
    else
    {
        T = new BiTNode;
        //生成根节点
        if (!T)
            exit(1);
        T->data = ch;
        CreatBiTree(T->lchild); //构造左子树
        CreatBiTree(T->rchild); //构造右子树
    }
}
//前序遍历
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
    if (!T)
        return;
    cout << T->data;
    if(T->data=='1')
    cn++;
    //显示节点数据
    PreOrderTraverse(T->lchild);
    PreOrderTraverse(T->rchild);
}
//中序遍历
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
    if (!T)
        return;
    InOrderTraverse(T->lchild);
    cout << T->data;
    //显示节点数据
    InOrderTraverse(T->rchild);
}
//后序遍历
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
    if (T == NULL)
        return;
    PostOrderTraverse(T->lchild);
    PostOrderTraverse(T->rchild);
    cout << T->data;
    //显示节点数据
}
int main()
{
    BiTree T;
    CreatBiTree(T);
    cout << "前序排序:";
    PreOrderTraverse(T);
    printf("\n");
    cout<<"节点为1的数量:"<<cn<<endl;
}

 

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