二叉树（Binary Tree）是n（n >= 0）个节点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根节点和两颗互不相交的，分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉嘛，也就是每个节点最多有两个分支。

图示：

 

 

 

 

二叉树具有五种基本形态：

1.空二叉树

2.只有一个根节点

3.根节点只有左子树

4.根节点只有右子树

5.根节点既有左子树又有右子树

特殊的二叉树：

1.斜树（只有左子树的称为左斜树，只有右子树的称为右斜树，两者统称为斜树）

2.满二叉树（所有的分支节点都存在左子树和右子树，并且所得树叶都在同一层上）

 

 

 

 

 

 

3.完全二叉树的特征：

1.叶子结点只能出现在最下两层

2.最下层的叶子一定集中在左部连续位置

3.倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置

4.如果节点度为1（这里的度与离散数学中的度不一样，这里的度是指节点所拥有的子树数），则该节点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况

5.同样节点数的二叉树，完全二叉树的深度最小

二叉树的性质：

性质1：在二叉树的第i层上至多有2^（i - 1）个节点（i >= 1）

性质2：深度为k的二叉树至多有2^k - 1个节点（k >= 1）

性质3：对任何一颗二叉树T，如果其终端节点数为n0，度为2的节点数为n2，则n0 = n2 + 1

性质4：具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n] + 1（[]表示不大于x的最大整数）

性质5：如果对一颗有n个节点的完全二叉树（其深度为[long2n] + 1）的节点按层序编号（从第1层到第[log2n] + 1层，每层从左到右），对任一节点i（1 <= i <= n）有

①如果i = 1，则节点i是二叉树的根，无双亲；如果i > 1，则双亲是节点[i / 2]

②如果2i > n，则节点i无左孩子（节点i为叶子结点）；否则其左孩子是节点2i

③如果2i + 1 > n，则节点i无右孩子；否则其右孩子是节点2i + 1

二叉树的存储结构同样分为两种：

一种为二叉树顺序存储结构，另一种为二叉树的链式存储结构

一般顺序存储结构只用于完全二叉树

下面我们来介绍链式存储结构的二叉树，，，

二叉链表：有一个数据域和两个指针域

以下代码实现二叉树的建立与遍历（其中有求节点为1的个数）

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int cn=0;
//二叉树链表的存储结构,抄作业的同学把其他遍历方式删掉
typedef struct BiTNode
{
    char data;
    //节点数据
    struct BiTNode *lchild, *rchild;
    //左右孩子指针
} BiTNode, *BiTree;
//二叉树的建立
void CreatBiTree(BiTree &T)
{
    char ch;
    cin >> ch;
    if (ch == '#')
        T = NULL;
    else
    {
        T = new BiTNode;
        //生成根节点
        if (!T)
            exit(1);
        T->data = ch;
        CreatBiTree(T->lchild); //构造左子树
        CreatBiTree(T->rchild); //构造右子树
    }
}
//前序遍历
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
    if (!T)
        return;
    cout << T->data;
    if(T->data=='1')
    cn++;
    //显示节点数据
    PreOrderTraverse(T->lchild);
    PreOrderTraverse(T->rchild);
}
//中序遍历
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
    if (!T)
        return;
    InOrderTraverse(T->lchild);
    cout << T->data;
    //显示节点数据
    InOrderTraverse(T->rchild);
}
//后序遍历
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
    if (T == NULL)
        return;
    PostOrderTraverse(T->lchild);
    PostOrderTraverse(T->rchild);
    cout << T->data;
    //显示节点数据
}
int main()
{
    BiTree T;
    CreatBiTree(T);
    cout << "前序排序：";
    PreOrderTraverse(T);
    printf("\n");
    cout<<"节点为1的数量："<<cn<<endl;
}