Balance的数学思想构造辅助函数

本类题的证明难点便在于如何构造出满足答案的辅助函数。通过下列类题便可以很好的理解。

题一

Balance的数学思想构造辅助函数

该类题可以理解为积分内部f(x)与xf(x)处于一种失衡状态,故我们需要使其平衡,否则直接构造出的函数无法满足后续的条件(可自行尝试)。

Balance的数学思想构造辅助函数

Balance的数学思想构造辅助函数

题二

Balance的数学思想构造辅助函数

从上面的例题得出启示,本题的条件中仍为不平衡状态,故构造辅助函数时需多加考虑

Balance的数学思想构造辅助函数

Balance的数学思想构造辅助函数

题三

Balance的数学思想构造辅助函数

本题不在啰嗦,直接构造,再进行常规不等式证明即可

Balance的数学思想构造辅助函数

题四

Balance的数学思想构造辅助函数

本题比较有难度,当然如果运用柯西或者二重积分轮换对称性来解决会比较容易,但这里尝试用平衡统一的方法呀!观察左右两边,根据上面的三道题,不难发现构造辅助函数时,为了得出答案,我们要将1进行平衡,这时可能就会出现两个思路,改为x或者x2,又显然左边为二者乘积,故尝试性选择构造成x2,当然如果没有观察出来,用尝试法发现x错误后,也可以进行合理修改辅助函数。

Balance的数学思想构造辅助函数

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