I. 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
1. 定义
Singular Value Decomposition (SVD)是线性代数中十分重要的矩阵分解方法，被称为“线性代数的基本理论”，因为它不仅可以运用于所有矩阵(不像特征值分解只能用于方阵)，而且奇异值总是存在的。
- SVD定理
设一个矩阵\(A^{m×n}\)的秩为\(r∈[0,min(m,n)]\),矩阵\(A\)的奇异值分解形式如下:
\[A=U\Sigma V^T \tag{1.1.1} \]
其中\(U∈R^{m×m}\)是一个正交矩阵(即列向量\(u_i,i=1,...,m\)互相正交)，\(V∈R^{n×n}\)也是一个正交矩阵(即列向量\(v_i,i=1,...,n\)互相正交),\(\Sigma\)是一个\(m×n\)的矩阵，且满足$$\Sigma_{ii}=\sigma_i≥0 \ \Sigma_{ij}=0,i≠j$$
上面的\(\sigma_i\)称为奇异值(singular values),\(u_i\)称为左奇异值(left-singular values),\(v_i\)称为右奇异值(right-singular values)。另外通常默认有\(\sigma_1≥...≥\sigma_r≥0\) 。
注意：矩阵\(A\)是一个长方形矩阵，不一定是方阵，另外\(\Sigma\)和矩阵\(A\)的维度相同，并且其包含一个对角子矩阵(diagonal submatrix)。
2. 图解SVD
对于奇异值分解可以从两个角度进行理解：一是将SVD视为对基向量组(bases)，即坐标系的一顺序变换，二是将SVD视为对于数据点的变换。
一般来说要让矩阵\(A\)作用于另一个矩阵，都是左乘\(A\),所以由公式(1)可知道首先是\(V^T\)，然后是\(\Sigma\),最后是矩阵\(U\)变换。所以矩阵\(A\)的变换实际上是经过了三个步骤，如下图所示(为方便理解使用了二维和三维图像进行说明)：
假设左上角的单位圆是在\(R^n\)空间，其标准基用\(B=[v_1,v_2]\)表示。左下角的圆也在\(R^n\)空间里，其标准基用\(\tilde{B}=[e_1,e_2]\)表示，右下角的圆在\(R^m\)空间里，其标准基用\(\tilde{C}\)表示。右上角的圆在\(R^m\)空间里。
- 由左上角到左下角：可以很清楚的看到\(V^T∈R^{n×n}\)的作用是对最开始的坐标轴(或标准基)(\(B\))还原成canonical basis(\(\tilde{B}\))。所以\(V^T\)的作用是将坐标轴由\(B\)转变成\(\tilde{B}\)。
- 由左下角到右下角：经过\(\Sigma\)矩阵变换后从\(R^n\)空间转换到了\(R^m\)空间。上图是从二维空间变成了三维空间，即增加了z轴。当然维度也可以减少。此外单位圆还是处在\([e_1,e_2]\)空间内(即\(x,y\)轴组成的空间内)，而且还会根据奇异值的大小做相应比例的伸缩。
- 右下角到右上角: 矩阵\(U\)继续对\([e_1,e_2]\)基做变换，增加的那个维度(z轴)方向不做变化。
下图更加形象地展示了奇异值分解的作用，变换过程和上面一样，故不再赘述：
3. SVD计算
本小节内容不证明SVD的存在性。
在介绍SVD如何计算之前，首先回顾一下【Math for ML】矩阵分解(Matrix Decompositions) （下）中介绍过任何对称矩阵都能对角化，其公式如下：
\[S=S^T=PDP^T \]所以一个对称矩阵的奇异值分解是十分相似的，即
\[S=U\Sigma V^T \]对比之后可知有\(U=P,V=P,\Sigma=D\)
另外我们还需要知道的是对于任意矩阵\(A∈R^{m×n}\),其转置矩阵和其本身相乘之后得到的矩阵都是对称矩阵，即\(A^TA∈R^{n×n}\)和\(AA^T∈R^{m×m}\)均为对称矩阵。(证明略)
接下来结合SVD公式给出对任意矩阵\(A∈R^{m×n}\)SVD计算的推导过程：
- 计算\(V\)
已知\(A^TA\)可作如下对角化运算，且其特征值\(λ_i≥0\)
\[\begin{align} A^TA=PDP^T=P \left[ \begin{matrix} λ_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & λ_n \end{matrix} \right] P^T \tag{1.3.1} \\ \end{align} \]因为任何矩阵都可做奇异值分解，故有
\[A^TA=(U\Sigma V^T)^T(U\Sigma V^T)=V\Sigma^TU^TU\Sigma V^T \tag{1.3.2} \]因为\(U\)为正交矩阵，所以\(U^TU=I\),所以(1.3.2)式进一步简化可得
\[\begin{align} A^TA=V\Sigma^T\Sigma V^T=V \left[ \begin{matrix} \sigma_1^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \sigma_n^2 \end{matrix} \right] V^T \tag{1.3.3} \\ \end{align} \]由(1.3.1)和(1.3.3)可得
\[V=P \\ \sigma_i^2=\lambda_i \tag{1.3.4} \]所以任意矩阵\(A\)的右奇异矩阵\(V\)是\(A^TA\)的特征矩阵\(P\)。
- 计算\(U\)
和求\(V\)类似，这里不再赘述。\(U\)即为\(AA^T\)的特征矩阵。
- 计算\(\Sigma\)
注意上面两步中已经求出了\(\sigma_i^2\),接下来要做的就是把上面所求出的\(\sigma_i^2\)从大到小排序并开根号，且\(\Sigma\)要与\(A\)的维度保持一致
具体的SVD计算示例可参见奇异值分解(SVD)计算过程示例。
4. 特征值分解（EVD） vs. 奇异值分解（SVD）
下面对特征值分解\(A=PDP^{-1}\)和奇异值分解\(A=U\Sigma V^T\)作如下总结和对比：
- SVD对于任意矩阵都存在；而EVD只能在n阶方阵的基础上才能被定义，而且只有当方阵满秩，即有n个独立的特征向量条件下才可以做特征值分解；
- 特征值分解后得到的矩阵\(P\)不必须是正交矩阵，也就是说\(P\)可以起到伸缩和旋转的作用；而SVD中的\(U,V\)矩阵都必须是正交矩阵，所以这两个矩阵只能起到旋转变换的作用，起伸缩变换作用的是矩阵\(\Sigma\)。
- 特征值分解和奇异值分解都由以下三个线性映射步骤组成：
1.Change of basis in the domain
2.Independent scaling of each new basis vector and mapping from domain to co-domain
3.Change of basis in the co-domain