Robust Influence Maximization
首先简要介绍一下这个问题：在一个社交网络图中寻找固定数量的节点，使得这些节点对所有节点的影响值尽可能的大。这个问题由于在病毒式营销，谣言监控，舆情分析等活动之中有巨大的应用，所以在过去的几十年，已经被广泛的研究过了。举个例子:一家化妆品公司想要通过送给一些用户免费产品的形式来推广产品，这些用户如何选择就可以采用解决Influence maximization问题的思路来进行。这个问题首先是被Kempe首先提出来的，他提出了两种模型来解决这个问题，第一个是independent cascade model （独立级联模型），第二个是 linear threshold model（线性阈值模型），直到现在为止，解决这个问题的很多方法都是在这两种模型上来进行优化，也有很多人是通过提出新的模型来模拟现实世界之中的信息传过程。
首先对这个问题给出形式化的定义：给一个有向图G = (V,E) ，V代表节点，E代表有向边，每一条边有一个权值 ∈ [0,1]，代表源点对终点的影响因子(源点有多大的几率对终点产生影响)。
定义参数向量θ=( ) e∈E 代表每一条边上的影响因子。我们定义 (S)为影响传播函数，（ (S)代表从S出发能传播到的所有节点数目的期望值） 其中L代表图G的子图， [L]代表在参数向量θ下子图L出现的概率。（每一条边出现的概率就是传播因子）RL（S）代表在子图L中从S节点能到达所有节点的个数。
Influence maxization问题就是要找到使得 (S)取得最大值得集合S。
已经被证明： (S)具有三个性质：（1）(∀S ⊆ V, (S)≥0)；（2）单调递增(∀S⊆T⊆V, (S)≤ (T));（3）(∀S ⊆ T⊆V,∀v∈V (S∪{v})− (S)≥ (T∪{v})− (T))
根据 (S)具有的三个性质Influence maxization问题就存在一个贪心的解法。下面是伪代码：
这个算法的思想就是每一次找到使得 (S)增长幅度最大的节点，加入结果集合中，循环k次，便得到我们想要的集合了。
这个算法 并不是一个好的算法，时间复杂性太高。而时间复杂度高的原因是 (S)函数的计算并不存在多项式时间的算法。精确计算 (S)函数本身就是一件很困难的事情，但是我们有一些别的方法来近似的计算 (S)，比如我们可以运行一次信息级联模型，首先将S集合设置为种子节点，然后根据边上的影响因子来确定种子节点旁边的节点是否受到影响，这样算法运行结束之后便可以得到最终有多少节点受到影响，如果对数据的精确度要求比较高的话，我们可以多次运行这个信息级联模型，然后对最后的结果取平均值，这样的话，我们就能够算出一个比较好的结果，我在真正运行程序查看结果的时候，发现每一次运行信息级联模型的结果差距比较小，所以这个方法我个人觉得还是可行的。
所以如果要优化的话，可以从这个算法入手。Influence maxization问题是一个已经被广泛研究过的问题，但是对于一个社交网络图，我们不能得到真正的影响因子，我们能得到的是一个影响因子的置信区间，使得影响因子落在这个区间中的可能性非常大。由于影响因子的不确定性，传统的解法寻找到的k个种子节点已经不够好了。
这篇论文中，首先形式化的定义了一个问题robust influence maxization（RIM）
给一个有向图G = (V,E) ，V代表节点，E代表有向边，每一条边有一个权值区间[le,re]，代表源点对终点的影响因子。定义参数空间Θ = [le,re]，我们希望能找到一个大小为k的集合，使得目标函数g(Θ,S)取得最大值。也就是找公式中的集合 （定义如下）
作者在提出这个问题之后，证明这个问题是NP-hard的，并且提供了一个LUGreedy算法给出 一个近似的解法。下面是伪代码：
这个算法的思想就是取每一条边上影响因子为区间上界re运行一次算法1，得到一个集合1，取每一条边上影响因子为区间上界le跑一遍算法，又得到一个集合2，最后看这两个集合在影响因子为le构成的参数向量上得到的影响值，取表现好的那个结果。接着作者证明这个算法的结果存在一个依赖于解的下界：
作者接下来证明了，当图的规模很大的时候， RIM问题不存在令人满意的解，直观上也很容易想出来，当每一条边上的影响因子都不确定的时候，目标函数 的最大值也不会很大。
这个时候作者就另辟蹊径地解决这个问题，我们可以通过采样的方式来减小边上的影响因子的不确定度，作者提出了两种算法，一种是uniform sampling另一种是 adaptive sampling。
对于第一种算法，我们对于每一条边采样次数都是一样的，并且作者给出了一个采样次数与最终解的好坏之间的一个函数关系。对于第二种算法，是一个启发式的算法，这个算法对于一些重要的边进行了多次的采样，对于其他的边采样次数就明显减少。从结果上来看，第二种算法能明显提升解的正确性。
下面是uniform sampling算法的伪代码：
uniform sampling算法的正确性由下面这个定理来证明:
下面是adaptive sampling算法的伪代码，这个算法是一个启发式的算法，作者并没有证明此算法的优点。Lemma7给出了此算法中第三行的具体操作。虽然这个算法是 启发式算法，但是这个算法在数据集中的表现是相当不错的。
由于例子并不是 特别好举，所以我就举一个简单的好了。
下面就是运行线性级联模型的例子。
选取第七个和第三个节点为集合s，然后运行线性级联模型，第五个第四个节点被第七个节点影响，第三个节点影响了第一个和第二个节点。所以运行这个算法就能够得到 (S)。
所以第一个算法就是这个算法运行k次，依次寻找使得 (S)增长幅度最大的节点，就得到了结果。
第二个算法就是第一个算法运行两边，每次参数不相同，具体的解释可以参考前面的关于LUgreedy算法的 解释部分。
第三个算法就是运行t次的线性级联模型，最后运行一遍第二个算法。
最后一个算法采用类似的思想，但是在求取置信区间的时候，很巧妙，采用了lemma7来获得区间，保证了算法的运行结果比较好。
最后分析一下这些算法，假设输入的图形有n个节点，m条 边。第一个贪心算法的时间复杂度不是多项式的，但是经过优化之后可以发现，可以优化到k*m（每一次循环计算 (S)是O（m）的，循环k次，所以是k*m）第二个算法是运行两边第一个算法所以也是k*m，最后两个算法和抽样次数有很大的关系，第三个算法是O（min（k*m，t））这个t可能会 很大。至于第四个算法的话，由于循环的次数并不确定，算法一直运行到得到一个满足条件的结果，我们只能分析每一次的时间复杂度O（min（k*m，t*m））。