异常点/离群点检测算法——LOF

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在数据挖掘方面,经常需要在做特征工程和模型训练之前对数据进行清洗,剔除无效数据和异常数据。异常检测也是数据挖掘的一个方向,用于反作弊、伪基站、金融诈骗等领域。 
  异常检测方法,针对不同的数据形式,有不同的实现方法。常用的有基于分布的方法,在上、下α分位点之外的值认为是异常值(例如图1),对于属性值常用此类方法。基于距离的方法,适用于二维或高维坐标体系内异常点的判别,例如二维平面坐标或经纬度空间坐标下异常点识别,可用此类方法。 
  异常点/离群点检测算法——LOF 
  这次要介绍一下一种基于距离的异常检测算法,局部异常因子LOF算法(Local Outlier Factor)。 
  用视觉直观的感受一下,如图2,对于C1集合的点,整体间距,密度,分散情况较为均匀一致,可以认为是同一簇;对于C2集合的点,同样可认为是一簇。o1、o2点相对孤立,可以认为是异常点或离散点。现在的问题是,如何实现算法的通用性,可以满足C1和C2这种密度分散情况迥异的集合的异常点识别。LOF可以实现我们的目标。 
  异常点/离群点检测算法——LOF 
  下面介绍LOF算法的相关定义: 
  1) d(p,o):两点p和o之间的距离; 
  2) k-distance:第k距离 
    对于点p的第k距离dk(p)定义如下: 
    dk(p)=d(p,o),并且满足: 
      a) 在集合中至少有不包括p在内的k个点o,∈C{x≠p}, 满足d(p,o,)≤d(p,o) ; 
      b) 在集合中最多有不包括p在内的k−1个点o,∈C{x≠p},满足d(p,o,)<d(p,o) ; 
    p的第k距离,也就是距离p第k远的点的距离,不包括p,如图3。 
    异常点/离群点检测算法——LOF 
  3) k-distance neighborhood of p:第k距离邻域 
    点p的第k距离邻域Nk(p),就是p的第k距离即以内的所有点,包括第k距离。 
    因此p的第k邻域点的个数 |Nk(p)|≥k。 
  4) reach-distance:可达距离 
    点o到点p的第k可达距离定义为: 
    reach−distancek(p,o)=max{k−distance(o),d(p,o)} 
    也就是,点o到点p的第k可达距离,至少是o的第k距离,或者为o、p间的真实距离。 
    这也意味着,离点o最近的k个点,o到它们的可达距离被认为相等,且都等于dk(o)。 
    如图4,o1到p的第5可达距离为d(p,o1),o2到p的第5可达距离为d5(o2)。 
    异常点/离群点检测算法——LOF 
  5) local reachability density:局部可达密度 
    点p的局部可达密度表示为:

lrdk(p)=1/(∑o∈Nk(p)reach−distk(p,o)|Nk(p)|)

    表示点p的第k邻域内点到p的平均可达距离的倒数。 
    注意,是p的邻域点Nk(p)到p的可达距离,不是p到Nk(p)的可达距离,一定要弄清楚关系。并且,如果有重复点,那么分母的可达距离之和有可能为0,则会导致lrd变为无限大,下面还会继续提到这一点。 
    这个值的含义可以这样理解,首先这代表一个密度,密度越高,我们认为越可能属于同一簇,密度越低,越可能是离群点。如果p和周围邻域点是同一簇,那么可达距离越可能为较小的dk(o),导致可达距离之和较小,密度值较高;如果p和周围邻居点较远,那么可达距离可能都会取较大值d(p,o),导致密度较小,越可能是离群点。 
  6) local outlier factor:局部离群因子 
    点p的局部离群因子表示为:

LOFk(p)=∑o∈Nk(p)lrdk(o)lrdk(p)|Nk(p)|=∑o∈Nk(p)lrdk(o)|Nk(p)|/lrdk(p)

    表示点p的邻域点Nk(p)的局部可达密度与点p的局部可达密度之比的平均数。 
    如果这个比值越接近1,说明p的其邻域点密度差不多,p可能和邻域同属一簇;如果这个比值越小于1,说明p的密度高于其邻域点密度,p为密集点;如果这个比值越大于1,说明p的密度小于其邻域点密度,p越可能是异常点。 
  现在概念定义已经介绍完了,现在再回过头来看一下lof的思想,主要是通过比较每个点p和其邻域点的密度来判断该点是否为异常点,如果点p的密度越低,越可能被认定是异常点。至于密度,是通过点之间的距离来计算的,点之间距离越远,密度越低,距离越近,密度越高,完全符合我们的理解。而且,因为lof对密度的是通过点的第k邻域来计算,而不是全局计算,因此得名为“局部”异常因子,这样,对于图1的两种数据集C1和C2,lof完全可以正确处理,而不会因为数据密度分散情况不同而错误的将正常点判定为异常点。 
  算法思想已经讲完了,现在进入干货环节,亮代码。 
  给一个python实现的lof算法: 
  https://github.com/damjankuznar/pylof 
  再给一下我fork之后的代码: 
  https://github.com/wangyibo360/pylof 
  有区别: 
  上面提到了,对于重复点局部可达密度可能会变为无限大的问题,我改的代码对这个问题做了处理,如果有重复点方面的场景,可以用我的代码,源代码这块有bug没有fix,而且好像代码主人无踪影了,提的pull也没人管。。。

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