PS：还记得第一次接触普通型母函数（也就是生成函数）还是在离散数学的课本上，当时也不太会敲代码，仅限于能够手动计算，现在就要详细的介绍一下关于母函数的内容了：

普通型母函数又叫生成函数，

1.定义：设G(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n + ...,就称G(x) 是序列{an}的生成函数；

Eg:{C(n,m)}的生成函数是 (1+x)^m，{k^n}的生成函数是 G(x) = 1+k*x+k^2*x^2+.. == 1/(1-k*x)

2.基本模型：

1.砝码问题：

假设现在有1克砝码2个，2克砝码1个，4克砝码2个，问能够称出哪些重量，方案数有多少？

解：

可以列出不定方程：

1*x1 + 2*x2 + 4*x3 == r;(0<=x1<=2, 0<=x2<=1, 0<=x3<=2)

所以对应的母函数为：

G(x) = (1+x+x^2) * (1+x^2) * (1+x^4+x^8) = 1+x+2*x^2+x^3+2*x^4+x^5+2*x^6+x^7+2*x^8+x^9+2*x^10+x^11+x^12

其中 x 的指数就是能够称的重量，而 x 前面的系数就是能够成重量是 指数的方案数；

2.正整数拆分问题：

G(x) = (1+x+x^2+x^3+x^4+...)* (1+x+x^2+x^3+x^4+...)* (1+x+x^2+x^3+x^4+...)*...*(乘以n次)

3.取小球问题：

口袋中有白球2个，红球3个，黄球1个，从袋中摸出3个球有几种取法？

G(x)= (1+x+x^2) * (1+x+x^2+x^3) * (1+x)

1表示不取球，x代表取1个球，x^2代表取2个球, x^3代表取3个球

所以我们只需要求出x^3前面的系数就行了，因为X^m前面的系数表示的就是摸出 m 个球所需要的方法数；

4.放球问题：

有n个球放到m个盒子中，有多少种不同的放法？

G(x) = (1+x+x^2+x^3+...x^k+...)*(1+x+x^2+x^3+...x^k+...)*...（一共有 n 项）我们要求的就是x^m前面的系数，也就是方法数；

5.就是求的 R-组合数

Eg:求 S = ( 3 * a, 4 * b, 5 * c)的10-组合数N;

解：生成函数G(x) = (1+x+x^2+x^3) * (1+x+x^2+x^3+x^4) * (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)

                             = ( 1 + ... + 3*x^10+2*x^10+x^10+...)

所以 x^10的系数就是6，所以 N = 6;

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介绍完这些基本例子之后就是说一下基本的模板了，也就是写程序：

拿整数拆分那个来说吧，其实程序大多数都是一样的，没有什么太大的差别：大体上就是利用两个数组 c1[],c2[]，c1数组就是用来存多项式各项系数最后结果的，而c2数组就是用来中间转换的，当每次计算结束后，把它赋给c1，然后c2清零。然后3重循环：最外层，记录它和第几个多项式相乘；第二层，表示c1中的每一项；第三层表示后面被乘多项式中的每一项。PS：先进行手工做一下，在模拟一下应该就行了，注意理解

My Code：

<span style="font-size:18px;">#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;

#define MM(a) memset(a,0,sizeof(a))

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const int maxn = 1e6+5;
const int mod = 1e9+7;
const double eps = 1e-8;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
LL gcd(LL a, LL b)
{
    if(b == 0)
        return a;
    return gcd(b, a%b);
}
int c1[maxn];///每一次存的多项式中的数
int c2[maxn];///中间变量
int n;///拆分的数

/**
首先对c1初始化，由第一个表达式
(1+x+x^2+..x^n)初始化，
从0到n的所有x前面的系数都初始化为1.
**/
void Init()
{
    for(int i=0; i<=n; i++)
    {
        c1[i] = 1;
        c2[i] = 0;
    }
}

int main()
{
    while(cin>>n)
    {
        Init();
        for(int i=2; i<=n; i++)///控制一共循环几次，也就是一共有几个多项式相乘
        {
            for(int j=0; j<=n; j++)///第一个表达式的系数
            {
                for(int k=0; k+j<=n; k+=i)///我们只需要 n 前面的系数
                {
                    c2[k+j] += c1[j];///重点理解，只要这个理解明白了就行了
                }
            }
            for(int j=0; j<=n; j++)///我们在用 c1[]当作第一个乘
            {
                c1[j] = c2[j];
                c2[j] = 0;///c2不需要
            }
        }
        cout<<c1[n]<<endl;
    }
    return 0;
}
</span>