一、先定个小目标

假设我们现在要做一个大学生在线学习影响因素的排序，现在我给出这么些个因素，自制力、网络条件、平台数目、家里事务、课程内容实现。

图 1-1 ：在线学习影响因素

而这些个因素是较为抽象笼统的，我们进一步具体化，具体化时要注意各个因素之间仍然要保持互不相关,如下：

把以上内容整理一下，翻译成论文样式就是：

整理一下得到：

图 1-2 ：层次结构图

本文目标就是将二级指标进行排序，排序依据为因素的影响权重。那么如果将这种抽象的评价进行数据量化呢？

       倘若避开数据不谈，你我按照自己心理的度量，也是一定能够将12个二级指标按照从重要到不重要的顺序排出来的。但可惜的是您也不知道具体，也不知道各个因素的影响差距，和他人述说这个顺序时，你也难以去说服他人，更别说是论文啦。

       而层次分析法能将你心目中的抽象化为数据，咱们继续。

二、层次分析法部分

2.1 思路总括

层次分析法，顾名思义，以不同层次来进行分析，本文不画什么层次结构图，但是您若是书写论文，对原理的阐述尽量还是加上。

       层次分析法分层将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按他们之间的相互关系分成最高层、中间层和最低层。

画个流程图：

图 2-1 ：层次分析法流程图

需注意我们是将准则层给具体细分，所以此处我们实际上例子只有两层。计算时，我们先将B的权重计算出来，然后\(B_1\)、\(B_2\)、\(B_3\)、\(B_4\)、\(B_5\)。继而又将B的各个权重进行拆分。（比如\(B_1\)权重为0.4，后续的\(B_{11}\)、\(B_{12}\)、\(B_{13}\)这里无非是对这个0.4进行拆分，也就是\(B_{11}\)、\(B_{12}\)、\(B_{13}\)对\(B_1\)的权重）

把结构图画一下：

图 2-2 ：分层示意图

每构造一次两两比较矩阵即可求出后者对前者的权重，即将\(B\)各个构造两两比较矩阵，即可求出准则层各项对\(A\)的权重）。同理，按照我们构建的结构，对\(B_{11}\)、\(B_{12}\)、\(B_{13}\)构造一次两两比较矩阵，可以求出\(B_{11}\)、\(B_{12}\)、\(B_{13}\)对\(B_1\)的权重。

2.2 构造两两比较矩阵

递阶层次结构完成建立，上下层次指标间的隶属支配关系得以确立。接下来对每一层次各因素的相关重要性给出判断，并把这些判断用数据表示出来既定量化描述，形成递阶层次结构的判断矩阵。本文使用AHP1-9标度法，如表2.2-1所示：

表2.2-1：AHP1-9标度表

判断矩阵是\(AHP\)中具有重要性且十分关键的一环，将相同层次的指标两两比较进行赋值，形成一个由判断系统构成的判断矩阵。相关步骤如下：

       以表2.2-1的综合因素的一级指标为例，将其依照重要性转化为数值。假设指标 \(B_1\)，\(B_2\)，\(B_3\)，\(B_4\)、\(B_5\)的重要性数值分别为\(a,b,c,d,e\)构造判断矩阵，指标\(B_1\)、\(B_2\)、\(B_3\)、\(B_4\)、\(B_5\)同时为判断矩阵的行和列，将其矩阵的元素设为\(a_{ij}\) ，\(a_{ij}=\frac{a_{i}}{a_{j}}\) ，\(a_i\)为指标\(B_i\)的重要性数值，\(a_j\)为指标\(B_j\)的重要性数值。其中\(i,j=1,2,3...n,(n=5)\)，\(i\) 和 \(j\) 分别表示判断矩阵中的行数和列数。由此可得到下面表2.2-2：

表2.2-2：一级指标判断矩阵表格

同理可得二级指标的判断矩阵。

2.3 权重计算方法

本文对于权重计算采用三种不同的方法，分别是算术平均法、几何平均法以及特征值法。考虑到以往论文利用层次分析法解决实际问题时，大部分只采用其中一种方法求得权重，而不同的计算方法可能会导致实际结果有不同的偏差。为了保证结果的稳健性，本文根据三种不同的方法分别求出权重，再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析。这样最大降低了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。三种方法计算步骤和统一归一处理过程如下所示：

2.3.1 算术平均法求权重

将判断矩阵内所有元素按照列进行归一化处理，再将归一化的各列按行求和，最后将相加后得到的向量中的每个元素除以 \(n\),即可得到权重向量 \(w_{i}\) , \((i=1,2...n)\)。

对于判断矩阵 \(A\) ：

依照上述原理利用求得的权重向量为：

2.3.2 几何平均法求权重

先将 \(A\) 的元素依照行相乘得到一个新的列向量，再将该新建立的向量的每个分量进行开 \(n\) 次方得到一个开方后的列向量，对该列向量进行归一化处理得到所需权重向量。

同样对于判断矩阵 \(A\) ：

进行几何平均法得到权重向量：

2.3.3 特征值法求权重

有矩阵 \(A_{n\times n}\) ，设其最大特征根为 \(\lambda_{max}\) ，解出判断矩阵的特征根。有公式 \(A\omega=\lambda_{max}\omega\) ，所得的解 \(\omega\) 经过归一化处理后就是同一层次相应元素对于上一层次某一因素相对重要性的权重向量。（三个方法都需要检测一致性比例）

有矩阵 \(A_{n\times n}\) ，其最大特征根计算公式如下：

其中 \(\omega_i\) 是权重向量 \(\omega\times A_{n\times n}\) 得到的列向量 \(A\omega\) 中的第 \(i\) 个分量。

2.3.4 归一化处理过程

对所得权重向量 \(\omega_{i}=\left(\begin{array}{llll}
\omega_{1} & \omega_{2} & \cdots & \omega_{n}
\end{array}\right)^{T}\) 做如下运算即可得到：

2.4 一致性检验

因为目标问题的复杂性以及人们对问题认识的模糊性和多样性，故人们给出的判断矩阵未必完全相同，所以进行一致性检验是判断结果客观准确性的依据。一致性检验是层次分析法的必要步骤之一。判断矩阵通过了检验是计算出的权重有意义的前提，否则所得出的结果将不能完全说明指标的真实权重。如果没有通过一致性检验，只能将数据进行修正计算出一组新的权重，再次进行检验，直到达到一致性检验通过为止，否则重复上述过程。

一致性指标为 :

当满足一致性比例 \(C R=\frac{C I}{R I}<0.10\) 时则判定矩阵通过一致性检验，否则需要返回修正判断矩阵数据。其中取值依据如下：

表2.4-1：平均随机一致性指标表

2.5 对一级指标求解

依据 2.3 节所述原理和过程，构造判断矩阵 A-B，将基准 \(A\) 中的五个元素 \(B_1\)、\(B_2\) 、 \(B_3\)、\(B_4\) 、\(B_5\) 两两比较，得成对比较矩阵：

表2.5-1：两两比较矩阵

表2.5-2：权重表

对所求得的权重分别进行归一化处理得：

表2.5-3：归一化后处理后权重表

对于特征值法，利用式子

可以解得特征向量如 表2.5-4 所示（计算过程见 2.3.3，使用的Matlab程序见附录4.1）

所求特征向量如下所示：

表2.5-4：特征向量表1

进而解得：

表2.5-5：特征值法所求一级指标权重

一致性指标\(C I=\frac{\lambda_{\max }-n}{n-1}=0.0842\)，得一致性比例 \(C R=\frac{C I}{R I}=0.0752<0.10\)

所以该判断矩阵的一致性可以接受。

综上所述，整理得所有一级指标权重如下：

表2.5-6：一级指标权重

2.6 对二级指标求解

根据 2.4 对一级指标的求解，以下构造\(B_1\)、\(B_2\)、\(B_3\)、\(B_4\)、\(B_5\)一级指标下二级指标的判断矩阵：

表2.6-1：B1 的二级指标判断矩阵

表2.6-2：B2 的二级指标判断矩阵

表2.6-3：B3 的二级指标判断矩阵

表2.6-4：B4 的二级指标判断矩阵>

表2.6-5：B5 的二级指标判断矩阵

同理得到所有二级指标的归一化权重：

对所有二级指标进行一致性检验得到：

可以看到，二级指标一致性比例 \(CR\) 全部小于 0.1，故所有判断矩阵的一致性可以接受。

又通过公式 \(S_{i}=\beta_{i} \times B_{k} \quad(i=1,2,3 ; k=1,2,3,4,5)\) 计算出每个二级指标基于一级指标整体归一化权重向量：

表2.6-6：整合权重表

将所得组合权重经过排序得出如下表格（按从小到大顺序排列）：
表2.6-7：综合影响因素排序表

三、模糊综合评测法部分

3.1 整体思路阐述

刚才 第二节 所求为各个影响因素的分立权重。那现在我们更进一步，通过之前利用层次分析法求得的权重来求出一个评价函数，说人话就是对在线学习的效率数据化。比如学习效率为35%，或者87%。大概这个样子。

接下来我将在第二节的基础上使用模糊综合评测法对在线学习效率和影响因素建立数学模型。

评测的评测环境是模糊的，且加入了多因素的影响，所以此处用模糊综合评测很合适。

3.2 模型的建立和求解

3.2.1 模型的建立

根据之前所得影响因素建立代表综合评测的多种因素的因素集：

再建立多种决断构成的评判集合：

其中 \(\left\{\begin{array}{lllll}
v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} & v_{5}
\end{array}\right\}\) 分别表示学习效率的评判标语为“优”，“良”，“中”，“可”，“差”，分别对应的在线学习效率程度为“很高” “高” “正常” “低” “很低” ，并规定评价集中各元素的量化值为 \(v_1=100\)，\(v_2=85\)，\(v_3=70\)，\(v_4=55\)，\(v_5=40\)。

这个打分，可以自行设置，这里按照百分制设置

由于因素集各因素对评判事务的影响不同，因此结合上一问所的的决策层权重（非组合权重）分配可得：

又评语并不是绝对的肯定与否定，故综合后的评判可认为是上的模糊集，记作：

其中 \(C_m\) 表示第 \(m\) 种评语在评判总体 \(V\) 中所占地位。

构造一个从 \(U\) 到 \(V\) 的模糊关系：

利用 \(R\) 可以得到模糊变换 \(TR\) 。（在解决模型时，需要建立了多个 \(R\) ，分块对一、二级指标 \(B\) 进行模糊变换，\((r_{i j})_{n \times m}\)通过德尔菲法得到）

德尔菲法肯定是要了解一下的啦

此处模糊评价矩阵就是用德尔菲法获得的

如此一来，由该 \((U,V,R)\) 三元体构成了一个模糊综合评测数学模型，对于输入的权重分配

可得到综合评判：

即为：

3.2.2 模型的举例求解

经过整理，在线学习效率综合评估指标体系结构如图所示：

图3.3.2-1：在线学习效率综合评估指标体系结构

在图示的三层次结构综合评价指标体系中，\(B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}\)分别表示不同的指标子集，具体含义如下：

对每个 \(B_{i} \quad(i=1,2,3,4,5)\) ，分别进行模糊综合评测，单独考虑 \(B_{i} \quad(i=1,2,3,4,5)\) 下的指标 \(B_{ij}\) ，通过德尔菲法得到隶属于 \(B_{ij}\) 第 \(k\) 个评语 \(v_k\) 的程度，得到一份\(B_{i} \quad(i=1,2,3,4,5)\)下的模糊评价矩阵 \(R\) ：

进而利用模糊评价矩阵和上题所求的决策层权重（非组合权重）配比计算 \(V\) 上的模糊集。

根据:

配合 \(w=\beta^{T}\) 得到决断构成的评判集合\(V=\left\{\begin{array}{lllll}
v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} & v_{5}
\end{array}\right\}\)的评测：

又根据\(\left\{\begin{array}{lllll}v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} & v_{5}\end{array}\right\}\)其中的评判标语“优”，“良”，“中”，“可”，“差”，分别对应的在线学习效率程度为 “很高” “高” “正常” “低” “很低”，根据规定评价集中各元素的量化值为 \(v_1=100\)，\(v_2=85\)，\(v_3=70\)，\(v_4=55\)，\(v_5=40\)。在本数学评价模型之下，得到的在线学习效率越接近100，学习效率越高；越接近40，学习效率越低。

所以在当前评价条件下可以计算出在线学习效率：

故根据本次德尔菲法获取的模糊评价矩阵经过模糊综合评测数学模型得到在线学习效率的评估为82.1455，学习效率较高。

根据综合影响因素，通过德尔菲法获取相应的模糊评判矩阵，进而得出在线学习效率的评估，该模型中输入不同的评判矩阵一般将会得到不同的结果。

四、MATLAB代码

实际使用时根据需要修改代码

4.1 层次分析法-MATLAB代码

%层次分析法求权重、一致性、相关比例程序：

disp('请输入判断矩阵A')

A=input('A=');

[n,n] = size(A);

% 算术平均法求权重

A_sum= sum(A);

Sum_A = repmat(A_sum,n,1);

Stand = A ./ Sum_A;

disp('算术平均法求权重的结果为：');

disp(sum(Stand,2)./n)

%几何平均法求权重

Prduct = prod(A,2);

Prduct_n = Prduct.^ (1/n);

disp('几何平均法求权重的结果为：');

disp(Prduct_n ./ sum(Prduct_n))

%特征值法求权重

[V,D] = eig(A);

Max_eig = max(max(D));

[r,c]=find(D == Max_eig , 1);

disp('特征值法求权重的结果为：');

disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )

%计算一致性比例CR

CI = (Max_eig - n) / (n-1);

RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %这里的RI最多支持 n = 15

% 这里n=2时，一定是一致矩阵，所以CI = 0，本文为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数

CR=CI/RI(n);

disp('一致性指标CI=');disp(CI);

disp('一致性比例CR=');disp(CR);

if CR<0.10

    disp('因为CR<0.10，该判断矩阵的一致性可以接受');

else

    disp('注意：CR >= 0.10，该判断矩阵需要进行修改');

end

4.2 模糊综合评测法-MATLAB代码

%%模糊评测法求在线学习效率

w1=[0.7584 0.1681 0.0735];%录入B1下的权重

w2=[0.0762 0.2308 0.6929];%录入B2下的权重

w3=[0.8000 0.2000];%B3下的权重

w4=[0.8333 0.1667];%B4下的权重

w5=[0.6667 0.3333];%B5下的权重

R1=[0.4 0.35 0.1 0.1 0.05; 	%R1模糊评价矩阵

    0.35 0.35 0.15 0.1 0.05;

    0.2 0.2 0.35 0.2 0.05];

R2=[0.4 0.25 0.25 0.05 0.05; 	%R2模糊评价矩阵

    0.35 0.3 0.25 0.05 0.05;

    0.4 0.3 0.15 0.1 0.05];

R3=[0.3 0.2 0.3 0.1 0.1; 	%R3模糊评价矩阵

    0.4 0.3 0.15 0.1 0.05];

R4=[0.2 0.35 0.3 0.1 0.05; 	%R4模糊评价矩阵

    0.15 0.25 0.25 0.2 0.15];

R5=[0.35 0.2 0.2 0.15 0.1; 	%R5模糊评价矩阵

    0.3 0.25 0.25 0.15 0.05];

Q=[0.4803 0.302 0.0536 0.0787 0.0854];

C1=w1*R1;	%TR运算

C2=w2*R2;

C3=w3*R3;

C4=w4*R4;

C5=w5*R5;

E=Q*[C1;C2;C3;C4;C5];	%加入权重

fprintf('%.4f\n',E)		%输出评语评价结果