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https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4036

题解

变成 \(2^n-1\) 的意思显然就是每一个数位都出现了。

那么通过 MinMax 容斥，可以把问题转化为对于一个集合 \(S\)，求 \(S\) 中至少有一个元素出现的概率。

这个问题等价于求 \(S\) 中没有任何一个元素出现的概率，即出现的数都是 \(S\) 的补集的子集的概率。

这个问可以通过 SoSDP 实现，时间复杂度 \(O(n2^n)\)。

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关于 SoSDP

这个东西可以 \(O(n2^n)\) 求出一个序列中是 \(S\) 的子集的集合的权值和。

令 \(f[i][S]\) 表示 \(S\) 中只有 \(i\) 以下的位上的 \(1\) 变成 \(0\) 的“子集”的权值和。

于是如果 \(i \in S\)，那么 \(f[i][S] = f[i - 1][S] + f[i - 1][S - \{i\}]\)。

否则 \(f[i][S] = f[i - 1][S]\)。

最后 \(f[n][S]\) 就是 \(S\) 的子集的答案。可以使用一维滚动数组优化，

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这道题的代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define fec(i, x, y) (int i = head[x], y = g[i].to; i; i = g[i].ne, y = g[i].to)
#define dbg(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define File(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

template<typename A, typename B> inline char smax(A &a, const B &b) {return a < b ? a = b, 1 : 0;}
template<typename A, typename B> inline char smin(A &a, const B &b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}

typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int, int> pii;

template<typename I> inline void read(I &x) {
    int f = 0, c;
    while (!isdigit(c = getchar())) c == '-' ? f = 1 : 0;
    x = c & 15;
    while (isdigit(c = getchar())) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15);
    f ? x = -x : 0;
}

#define lowbit(x) ((x) & -(x))

const int N = 20 + 7;
const int M = (1 << 20) + 7;

int n, S;
double f[M];
int p[M];

inline void work() {
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        for (int s = 1; s <= S; ++s)
            if ((s >> i) & 1) f[s] += f[s ^ (1 << i)];
    for (int i = 1; i <= S; ++i) if (f[S] == f[S ^ i]) {
        puts("INF");
        return;
    }
    for (int s = 1; s <= S; ++s) p[s] = p[s ^ lowbit(s)] + 1;
    double ans = 0;
    for (int s = 1; s <= S; ++s)
        if (p[s] & 1) ans += 1 / (1 - f[S ^ s]);
        else ans -= 1 / (1 - f[S ^ s]);
    printf("%.10lf\n", ans);
}

inline void init() {
    read(n);
    S = (1 << n) - 1;
    for (int i = 0; i <= S; ++i) scanf("%lf", &f[i]);
}

int main() {
#ifdef hzhkk
    freopen("hkk.in", "r", stdin);
#endif
    init();
    work();
    fclose(stdin), fclose(stdout);
    return 0;
}