目前在研究Automated Machine Learning,其中有一个子领域是实现网络超参数自动化搜索，而常见的搜索方法有Grid Search、Random Search以及贝叶斯优化搜索。前两者很好理解，这里不会详细介绍。本文将主要解释什么是体统(沉迷延禧攻略2333)，不对应该解释到底什么是贝叶斯优化。

I Grid Search & Random Search

我们都知道神经网络训练是由许多超参数决定的，例如网络深度，学习率，卷积核大小等等。所以为了找到一个最好的超参数组合，最直观的的想法就是Grid Search，其实也就是穷举搜索，示意图如下。

但是我们都知道机器学习训练模型是一个非常耗时的过程，而且现如今随着网络越来越复杂，超参数也越来越多，以如今计算力而言要想将每种可能的超参数组合都实验一遍(即Grid Search)明显不现实，所以一般就是事先限定若干种可能，但是这样搜索仍然不高效。

所以为了提高搜索效率，人们提出随机搜索，示意图如下。虽然随机搜索得到的结果互相之间差异较大，但是实验证明随机搜索的确比网格搜索效果要好。

II Bayesian Optimization

假设一组超参数组合是\(X={x_1,x_2,...,x_n}\)(\(x_n\)表示某一个超参数的值)，而这组超参数与最后我们需要优化的损失函数存在一个函数关系，我们假设是\(f(X)\)。

而目前机器学习其实是一个黑盒子(black box),即我们只知道input和output，所以上面的函数\(f\)很难确定。所以我们需要将注意力转移到一个我们可以解决的函数上去，下面开始正式介绍贝叶斯优化。

假设我们有一个函数\(f:\cal{X}→\Bbb{R}\),我们需要在\(X\subseteq\cal{X}\)内找到

\(x^*=\underset{x\in X}{\operatorname{argmin}}f(x) \tag{1}\)

当\(f\)是凸函数且定义域\(X\)也是凸的时候，我们可以通过已被广泛研究的凸优化来处理，但是\(f\)并不一定是凸的，而且在机器学习中\(f\)通常是expensive black-box function，即计算一次需要花费大量资源。那么贝叶斯优化是如何处理这一问题的呢？

1. 详细算法

Sequential model-based optimization (SMBO) 是贝叶斯优化的最简形式，其算法思路如下：

下面详细介绍一下上图中的算法：

1. Input:

• \(f\): 就是那个所谓的黑盒子
• \(\cal{X}\):是输入数据，例如图像、语音等。
• \(S\):是Acquisition Function(采集函数)，这个函数的作用是用来选择公式(1)中的\(x\)，后面会详细介绍这个函数。
• \(\cal{M}\):是基于输入数据假设的模型，即已知的输入数据\(x\)都是在这个模型上的，可以用来假设的模型有很多种，例如随机森林，Tree Parzen Estimators(想要了解这两种的可以阅读参考文献[1])等，但是本文主要介绍高斯模型。

2. InitSamples(f,x)→D

这一步骤就是初始化获取数据集\(\cal{D}={(X_1,Y_1),...,(X_n,Y_n)}\)，其中\(Y_i=f(X_i)\),这些都是已知的。

3. 循环选参数\(T\)次

因为每次选出参数\(x\)后都需要计算\(f(x)\),而正如前面介绍的没计算一次函数\(f\)，都会消耗大量资源，所以一般需要固定选参次数(或者是函数评估次数)。

• \(p(y|x,D)←FITMODEL(M,D)\)

首先我们预先假设了模型\(\cal{M}\)服从高斯分布，且已知了数据集\(\cal{D}\)，所以可以通过计算得出具体的模型具体函数表示。假设下图中的绿色实现就是基于数据集\(\cal{D}\)经过计算后的服从高斯分布模型。可以看到Each additional band of green is another half standard deviation on the output distribution.

那么高斯分布是如何计算的呢？

因为我们已经假设\(f\)~\(GP(μ,K)\)。 (GP:高斯过程，μ:均值 K:协方差kernel,)。所以预测也是服从正态分布的，即有\(p(y|x,D)=\cal{N}(y|\hat{μ},\hat{σ}^2)\)

• \(x_i←\underset{x\in X}{\operatorname{argmax}}S(X,p(y|X,D))\)

现在已经将假设的模型计算出来了，那么下一步我们需要基于假设模型的基础上选择满足公式(1)的参数了，也就是选择\(X\)，那么如何选择呢？这就涉及到了Acquisition Function，为了让文章篇幅更易阅读，想了解Acquisition Function移步到文末。

• \(y_i←f(x_i)\)

既然参数选出来了，那么当然就是要计算咯。例如我们通过上述步骤已经选出了一组超参数\(x_i\)，那么我们下一步就是将超参数带入网络中去进行训练，最后得到输出\(y_i\)。这一步骤虽然expensive，但是没办法还是得走啊。

• \(D←D \bigcup{(x_i,y_i)}\)

更新数据集。

2. Acquisition Function

Acquisition Function的选择可以有很多种，下面将分别介绍不同的AC function。

1） Probability of improvement

假设\(f'=min \, f\),这个\(f'\)表示目前已知的\(f\)的最小值。

然后定义utility function如下：
\[
u(x) =
\begin{cases}
o, & \text{if $f(x)>f'$} \\
1, & \text{if $f(x)≤f'$ }
\end{cases}
\]

其实也可以把上面的\(u(x)\)理解成一个reward函数，如果f(x)不大于f'就有奖励，反之没有。

probability of improvement acquisition function定义为the expected utility as a function of x:

\[
\begin{align}
a_{PI}(x)=E[u(x)|x,D] & = \int_{-∞}^{f'}\cal{N}(f;μ(x),K(x,x))df \notag{} \\
& = \cal{\Phi}(f';μ(x),K(x,x)) \notag{}
\end{align}
\]

之后只需要求出\(a(x)\)的最大值即可求出基于高斯分布的满足要求的\(x\)。

2) Excepted improvement

上面的AC function有个缺点就是找到的\(x\)可能是局部最优点，所以有了Excepted improvement。\(f'\)的定义和上面一样，即\(f'=min \, f\)。utility function定义如下:

\[u(x)=max(0,f'-f(x))\]

因为我们最初的目的是找到使得f(x)最小的x，所以这个utility function的含义很好理解，即接下来找到的\(f(x)\)比已知最小的\(f'\)越小越好，然后选出小的程度最大的那个\(f(x)\)和\(f'\)之间的差距的绝对值作为奖励，如果没有更小的那么奖励则为0.

AC function定义如下：

\[
\begin{align}
a_{EI}(x)=E[u(x)|x,D] & = \int_{-∞}^{f'}(f'-f)\cal{N}(f;μ(x),K(x,x))df \notag{} \\
& = (f'-μ(x))\cal{\Phi}(f';μ(x),K(x,x)) \, + \, K(x,x)\cal{N}(f';μ(x),K(x,x)) \notag{}
\end{align}
\]

通过计算使得\(a_{EI}\)值最大的点即为最优点。

上式中有两个组成部分。要使得上式值最大则需要同时优化左右两个部分：

• 左边需要尽可能的减少\(μ(x)\)
• 右边需要尽可能的增大方差(或协方差)\(K(x,x)\)

但是二者并不同能是满足，所以这是一个exploitation-exploration tradeoff。

3) Entropy search

4） Upper confidence bound

Reference

• [1] Sigopt.com. Bayesian Optimization Primer (2018). [online] Available at: https://sigopt.com/static/pdf/SigOpt_Bayesian_Optimization_Primer.pdf [Accessed 26 Oct. 2018].
• [2] Cse.wustl.edu. Bayesian Optimization (2018). [online] Available at: https://www.cse.wustl.edu/~garnett/cse515t/spring_2015/files/lecture_notes/12.pdf [Accessed 26 Oct. 2018].
• [3] Anon,How does Bayesian optimization work? (2018). [online] Available at: https://www.quora.com/How-does-Bayesian-optimization-work [Accessed 26 Oct. 2018].