最短路再放送

2024-03-18 10:53:28

前言

当我做另一道题使用最短路算法时，我习惯性地去\(Luogu\)博找\(Dijksttra\)的板子，这时候我觉得这种算法应该记住，于是我又重温了一遍最短路算法，发现了很多困惑，尤其是关于\(SPFA\)和\(Dijkstra\)算法的区别。因为我的\(SPFA\)和\(Dijkstra\)都使用了堆优化。
然后我困惑了很久，终于明白了，准备推样例理解一下，又心血来潮重温了一下\(Dijkstra\)算法为什么不能处理负权边，然后构造了一个带负权的有向图，结果呢。
我的\(Dijkstra\)竟然跑出了正确的答案!
我惊了，拿朋友的板子发现正确的\(Dijkstra\)算法是不能跑负权边的，于是我再去看我的板子，怀疑我的\(Dijkstra\)写成了\(SPFA\)，要是我发现了能处理负权边的\(Dijkstra\)算法，我估计会被保送吧哈哈。于是改掉了我的板子，所幸在\(NOIP\)前发现，在此简单总结一下最短路算法。

\(Floyed\)

多源最短路算法，运用了松弛的思想，有很浓重的\(DP\)气息(因为它就是\(DP\))，通过枚举中间点转移。
复杂度\(O(n^3)\)，在解决最短路问题上基本没有用处，如果解决多源问题完全可以跑\(n\)遍\(Dijkstra\)，和矩阵乘法结合有一些用，具体我也忘了。

memset(f,inf,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;++i) f[i][i]=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=n;++j)
        for(int k=1;k<=n;++k)
          f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);

\(SPFA\)

\(SPFA\)是个随机数据下比较快的算法，它的思想是每次从队列中找到一个点，松弛它所连的边，然后出队，注意这个点是可以再次被更新的，也就是可以再次入队重新松弛，不断逼近，直到最后求出最优解。所以卡\(SPFA\)的办法就是让\(SPFA\)跑到终点，然后再从起点更新，让它不停地重复跑就可以了，具体方法是构造一个网格图，将横向边边权设为很小，纵边很大即可。
\(SPFA\)最优复杂度为\(O(KE)\)，其中\(K\)是一个常数，但是最坏情况可以达到\(O(VE)\)
众所周知，现在很多最短路题目出题人都会卡\(SPFA\)，用双端队列优化或者是堆优化本质都是不变的，都会被卡，所以还是用\(Dijkstra\)吧。
常规的\(SPFA\)

#include<bits/stdc++.h>
#define N 10005
#define maxn 500005
#define INF 2147483647
using namespace std;
int dis[N],cnt,n,m,eu,ev,head[N],x,y,z,s;
bool vis[N];
struct Edge{
    int next,w,v;
}e[maxn];
inline void add(int u,int v,int w){
    e[++cnt].v=v;
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
    return;
}
void spfa(int s){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dis[i]=INF;
        vis[i]=true;
    }
    dis[s]=0;
    queue <int> q;
    q.push(s);
    vis[s]=false;
    while(!q.empty()){
        eu=q.front();
        q.pop();
        vis[eu]=true;
        for(int i=head[eu];i;i=e[i].next){
            ev=e[i].v;
            if(dis[eu]+e[i].w<dis[ev]){
                dis[ev]=dis[eu]+e[i].w;
                if(vis[ev]){
                    q.push(ev);
                    vis[ev]=false;
                }
            }
        }
    }
}
int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int main()
{
    cin>>n>>m>>s;
    for(register int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>x>>y>>z;
        add(x,y,z);
    }
    spfa(s);
    for(register int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]);
}

比较常用的双端队列优化(\(SLF\)优化)，大概思想是队列为空或者当前最短距离比队首小时放到队首，否则放到队首，最好再熟悉一下\(STL\)

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define maxn 200005
#define INF 2147483647
using namespace std;
int dis[N],cnt,n,m,eu,ev,head[N],x,y,z,s;
bool vis[N];
struct Edge{
    int next,w,v;
}e[maxn];
inline void add(int u,int v,int w){
    e[++cnt].v=v;
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
    return;
}
void spfa(int s){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dis[i]=INF;
    }
    dis[s]=0;
    deque <int> q;
    q.push_back(s);
    vis[s]=1;
    while(!q.empty()){
        eu=q.front();
        q.pop_front();
        vis[eu]=0;
        for(int i=head[eu];i;i=e[i].next){
            ev=e[i].v;
            if(dis[eu]+e[i].w<dis[ev]){
                dis[ev]=dis[eu]+e[i].w;
                if(!vis[ev]){
                    vis[ev]=1;
//                    if(dis[q.front()] > dis[q.back()]) {
//                      int fr = q.front() ; q.pop_front() ;
//                      int ba = q.back() ; q.pop_back() ;
//                      q.push_front(ba), q.push_back(fr) ;
//                  }
                    if(q.empty()||dis[ev]<dis[q.front()]) q.push_front(ev);
                    else q.push_back(ev);
                }
            }
        }
    }
}
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int main()
{
    cin>>n>>m>>s;
    for(register int i=1;i<=m;i++)
    {
        x = read(), y = read(), z = read() ;
        add(x,y,z);
    }
    spfa(s);
    for(register int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]);
}

\(SPFA\)堆优化：算是比较快的，但是不常用，这个可以过掉洛谷的单源最短路（标准版），而且比\(Dijkstra\)要快

#include<bits/stdc++.h>
#define N 200000 + 10
#define maxn 200000 + 10
#define INF 2147483647
using namespace std;
int dis[N],cnt,n,m,eu,ev,head[N],x,y,z,s;
bool vis[N];
struct Edge{
    int next,w,v;
}e[maxn];
inline void add(int u,int v,int w){
    e[++cnt].v=v;
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
    return;
}
struct cmp{
    bool operator ()(int &x, int &y)
    {
        return dis[x] > dis[y];
    }
};
void spfa(int s)
{
    for(int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = INF;
    dis[s]=0;
    priority_queue<int, vector<int>, cmp> q;
    q.push(s);
    vis[s]=1;
    while(!q.empty()){
        eu=q.top();
        q.pop();
        vis[eu]=0;
        for(int i=head[eu];i;i=e[i].next){
            ev=e[i].v;
            if(dis[eu]+e[i].w<dis[ev]){
                dis[ev]=dis[eu]+e[i].w;
                if(!vis[ev]){
                    vis[ev]=1;
                    q.push(ev);
                }
            }
        }
    }
}
inline int read() {
    char ch = getchar(); int u = 0, f = 1;
    while (!isdigit(ch)) {if (ch == '-')f = -1; ch = getchar();}
    while (isdigit(ch)) {u = u * 10 + ch - 48; ch = getchar();}
    return u * f;
}
int main()
{
    n = read(); m = read(); s = read();
    for(register int i=1;i<=m;i++)
    {
        x = read(), y = read(), z = read() ;
        add(x,y,z);
    }
    spfa(s);
    for(register int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]);
}

\(Dijkstra\)

\(Dijkstra\)是最常用的最短路算法，原始时间复杂度为\(O(n^2)\)，堆优化后时间复杂度为\(O(nlogn)\)，而且比较稳定，很难卡掉
他的思想是从已更新的点集中选出最近的点，默认这个距离为该点的最短距离，再用它来更新其它点，这个过程可以用堆优化。
“默认这个距离为该点的最短距离”这是一个贪心的思想，那么这个贪心为什么是对的呢。
尝试用反证法证明，假设\(S-->A\)不是到\(A\)的最短路，而是通过集合外的一个点作为中间节点，即\(S-->B-->A\)，因为我们选择的是最近的点，所以\(S-->A\)一定小于\(S-->B\)，而且\(B-->A>0\)所以\(S-->A\)比\(S-->B-->A\)更优，这和假设矛盾，得证贪心成立

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#define re register
#define maxn 200010

using namespace std;

int head[maxn],vis[maxn],s,cnt,dis[maxn],n,m,a,b,c;
struct Edge{
    int v,w,nxt;
}e[maxn<<2];
inline void add(int u,int v,int w)
{
    e[++cnt].v=v;
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}
struct node{
    int u,d;
    bool operator <(const node&rhs) const{
        return rhs.d<d;
    }
};
void dijkstra()
{
    //memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
    dis[s]=0;
    priority_queue<node> q;
    q.push((node){s,0});
    //vis[s]=1;
    while(!q.empty())
    {
        node f=q.top();
        q.pop();
        int now=f.u,dd=f.d;
        if(vis[now])
         continue;
        vis[now]=1;
        for(int i=head[now];i;i=e[i].nxt)
        {
            int ev=e[i].v;
            if(dis[ev]>dis[now]+e[i].w)
            {
                dis[ev]=dis[now]+e[i].w;
                if(!vis[ev])
                {
                    q.push(node{ev,dis[ev]});
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)dis[i] = 0x7fffffff;
    for(re int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c); 
    }
    dijkstra();
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    printf("%d ",dis[i]);
    return 0;
}
上一篇：攻防世界MISC进阶之4-2


下一篇：Codeforces Round #541 (Div. 2) F、Asya And Kittens||并查集