LeetCode通关:求次数有妙招,位运算三连

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刷题路线参考: https://github.com/chefyuan/algorithm-base

大家好,我是刷题困难户老三,这一节我们来刷几道很有意思的求次数问题,它们都有同一类非常巧妙的解法。

这种解法是什么呢?往下看吧!

基础知识

在开始之前,我们最好先了解一些位运算的基础知识。

原反补码

先简单说一下,原码、反码、补码。

一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

比如,十进制中的数 +3 ,假如计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。

  • 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

[+1]原 = 0000 0001

[-1]原 = 1000 0001

  • 反码

正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变,其余各个位取反。

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

  • 补码

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

补码是人脑认识里不太直观的一种表示方式,之所以发明补码,是为了让机器以一种一致的方式来处理加法运算。

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更多知识建议阅读《j计算机组成原理》。

与或非异或运算

在处理整型数值时,位运算符可以直接对组成整型数值的各个位进行操作。这些位运算符在位模式下工作。位运算符包括:&|~^

  • 与(&)

对应位都为1,结果为1,否则结果为0

int a=129;
int b=128;
System.out.println("a与b的结果:"+(a&b));
# 输出
a与b的结果:128

计算过程如下:

10000001 &
10000000 =
10000000
  • 或(|)

对应位只要有一个为1,结果是1,否则就为0

int a=129;
int b=128;
System.out.println("a或b的结果:"+(a|b));
# 输出
a或b的结果是:129

计算过程如下:

10000001 |
10000000 =
10000001
  • 非(~)

位为0,结果是1;位为1,结果是0

 int a = 8;
System.out.println("非a的结果:"+(~a));
# 输出
非a的结果:-9

计算过程如下

        //8转换为二进制
1000
// 补符号位
01000
// 取反
10111 (补码)
// 转源码除符号位取反+1
11001
  • 异或(^)

对应位相同,结果是0,否则结果是1

1111 ^
0010 =
1101

移位运算

移位运算见名知意,是数字二进位的移动,我们这里只讨论int型的移位运算。

  • << 左移运算符

数值的补码全部左移若干位,符号位和高位丢弃,低位补 0。

  • >> 右移运算符

数值的补码全部右移若干位,符号位不变。

假如int是8位二进制,两个例子如下:

10的补码为0000 1010,左移一位变成20(0001 0100),右移一位变成5(0000 0101)

5的补码为0000 0101,左移一位变成10(0000 1010),右移一位变成2(0000 0010)

求次数问题

LeetCode136. 只出现一次的数字

题目:136. 只出现一次的数字 (https://leetcode-cn.com/problems/single-number/)

难度:简单

描述:

给定一个非空整数数组,除了某个元素只出现一次以外,其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。

说明:

你的算法应该具有线性时间复杂度。 你可以不使用额外空间来实现吗?

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思路:

哈希法

用哈希表存储每一个元素出现的次数,最后找到出现一次的元素。

代码如下:

    public int singleNumber(int[] nums) {
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
//存储元素出现的次数
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
map.put(nums[i], map.getOrDefault(nums[i], 0) + 1);
}
//遍历获取出现次数为1的情况
for (int k : map.keySet()) {
if (map.get(k) == 1) {
return k;
}
}
return -1;
}

时间复杂度:O(n)

空间复杂度:O(n)

位运算

题中要求空间复杂度O(1),哈希法明显是不合要求的。

这里有一个全新的方法:位运算

异或运算有如下特点:

  • 一个数和 0 做异或运算等于本身:a⊕0 = a
  • 一个数和其本身做 异或 运算等于 0:a⊕a = 0
  • 异或 运算满足交换律和结合律:a⊕b⊕a = (a⊕a)⊕b = 0⊕b = b

可以重复分利用异或运算的特性,异或数组所有元素,最后留下的那个就是只出现一次的元素。

    public int singleNumber(int[] nums) {
int ans = 0;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
//异或运算
ans ^= nums[i];
}
return ans;
}

时间复杂度:O(n)

空间复杂度:O(1)

LeetCode137. 只出现一次的数字 II

题目:137. 只出现一次的数字 II (https://leetcode-cn.com/problems/single-number-ii/)

难度:中等

描述:

给你一个整数数组 nums ,除某个元素仅出现 一次 外,其余每个元素都恰出现 三次 。请你找出并返回那个只出现了一次的元素。

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这道题和 剑指 Offer 56 - II. 数组中数字出现的次数 II 是一样的。

思路:

哈希法

第一反应还是哈希法,不用多说了,直接上代码:

    public int singleNumber(int[] nums) {
if (nums.length == 1) {
return nums[0];
}
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
map.put(nums[i], map.getOrDefault(nums[i], 0) + 1);
}
for (int k : map.keySet()) {
if (map.get(k) == 1) {
return k;
}
}
return -1;
}

时间复杂度:O(n)

空间复杂度:O(n)

位运算

好了,又到了我们的主角出场。

将我们的数的二进制位每一位相加,然后对每一位的和与3取余:

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这个原理是什么呢?

如果其他数都出现 3 次,只有目标数出现 1 次,那么每一位的 1 的个数无非有这两种情况,

  • 为 3 的倍数(全为出现三次的数)
  • 3 的倍数 +1(包含出现一次的数)

这个 3 的倍数 +1 的情况也就是我们的目标数的那一位。

代码如下:

    public int singleNumber(int[] nums) {
int res = 0;
for (int i = 0; i < 32; i++) {
int count = 0;
for (int num : nums) {
//检查第i位是否为1
if ((num >> i & 1) == 1) {
count++;
}
}
if (count % 3 != 0) {
//将第i位设为1
res = res | 1 << i;
}
}
return res;
}

时间复杂度:O(n)

空间复杂度:O(1)

LeetCode260. 只出现一次的数字 III

题目:260. 只出现一次的数字 III (https://leetcode-cn.com/problems/single-number-iii/)

难度:中等

描述:

给定一个整数数组 nums,其中恰好有两个元素只出现一次,其余所有元素均出现两次。 找出只出现一次的那两个元素。你可以按 任意顺序 返回答案。

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这道题和 剑指 Offer 56 - I. 数组中数字出现的次数 是一模一样的。

思路:

这次不是一个重复的元素了,是两个。还是先上我们朴素的哈希法。

哈希法

代码如下:

    public int[] singleNumber(int[] nums) {
int[] res = new int[2];
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
map.put(nums[i], map.getOrDefault(nums[i], 0) + 1);
}
int index = 0;
for (int k : map.keySet()) {
if (map.get(k) == 1) {
res[index] = k;
index++;
}
}
return res;
}

时间复杂度:O(n)

空间复杂度:O(n)

位运算[5]

我们在 LeetCode136. 只出现一次的数字 里只用了一个异或就找出了那个出现一次的数字。

这道题怎么办呢?

要是我们能把它分成两组就好了。

怎么分呢?

大家都知道异或运算对应位相同,结果是0,否则结果是1

我们可以根据两个数某一位是否是0和1来把数组分为两组。

例如数组: [12,13,14,17,14,12]

异或的结果是:13^17。

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分组位找到了。

那么怎么借助分组位进行分组呢?

13、17的异或值,可以仅保留异或值的分组位,其余位变为 0,例如 11100变成00100。

为什么要这么做呢?在第二题提到,我们可以根据 a & 1 来判断 a 的最后一位为 0 还是为 1,所以我们将 11100变成00100之后,然后数组内的元素 x & 001 即可对 x 进行分组 。

那么我们如何才能仅保留分组位,其余位变为 0 呢?

可以利用 x & (-x) 来保留最右边的 1。

代码如下:

    public int[] singleNumber(int[] nums) {
int bitMask = 0;
//把数组中的所有元素全部异或一遍
for (int num : nums) {
bitMask ^= num;
}
//保留最右边的1
bitMask &= -bitMask;
int[] res = {0, 0};
for (int num : nums) {
//将数组分成两部分,每部分分别异或
if ((num & bitMask) == 0) {
res[0] ^= num;
} else {
res[1] ^= num;
}
}
return res;
}

总结

三道求次数问题就这么做完了。

求次数问题的朴素做法是Hash法,使用Hash存储元素出现次数。

但是Hash法空间复杂度是O(n),如果要求O(1)的空间复杂度就不行了。

这时候就要灵活利用位运算的方法,位运算的关键在于充分了解位运算的相关应用。

简单的事情重复做,重复的事情认真做,认真的事情有创造性地做。

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博主算法练习生一枚,刷题路线和思路主要参考如下!

参考:

[1]. https://github.com/chefyuan/algorithm-base

[2]. https://leetcode-cn.com/problems/single-number-ii/solution/ti-yi-lei-jie-wei-yun-suan-yi-wen-dai-ni-50dc/

[3]. https://blog.csdn.net/White_Idiot/article/details/70178127

[4].https://blog.csdn.net/qq_30374549/article/details/89520849

[5].https://leetcode-cn.com/problems/single-number-iii/solution/javawei-yun-suan-jie-jue-ji-bai-liao-999-dp5b/

[6]. https://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/computercode.html

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