二叉树

堆排序需要先了解二叉树的基本常识，注意区分完全二叉树和非完全二叉树，以及要了解二叉树在计算机中的存储方式。

这是一棵完全二叉树

它在计算机中的存储方式为：

如上图所示，完全二叉树在计算机中存储时就像一个链表，只不过要怎么对应父节点和子节点的关系呢？根据这个二叉树看这个链表，分析列表下标中，父节点与子节点的关系，得出结论：

父节点与左子节点的关系为，父节点的下标乘以2加上1，公式：i -> 2i+1

父节点与右子节点的关系为，父节点的下标乘以2加上2，公式：i -> 2i+2

子节点与父节点的关系为，子节点下标减1整除2，公式：(n-1)//2 -> i

 

二叉树与堆的关系

堆是特殊的二叉树结构，分为大根堆、小根堆

大根堆定义：完全二叉树中，任意一个节点都比其子节点大。如图：

小根堆定义：完全二叉树中，任意一个节点都比其子节点小。如图：

堆的向下调整性质

如果节点的左右都是堆，但自身不是堆时，可以向下调整，如图：

根节点2左右都是大根堆，但是自身不是大根堆，就选取两个子节点中最大值的子节点进行对换，2与9对换之后发现自身同样还不是堆，继续向下调整，挑选最大值的子节点对换，2与8对换，发现还不是堆，继续与6对换，然后终于形成堆了，如图：

所以，堆排序中堆拥有一个向下调整的性质：假设根节点左右都是堆，但自身不满足堆的时候，可以通过一次向下调整来将其调整成为一个堆。

堆排序过程

1、建立堆

输入一段无序的数，通过先让最底层节点有序，先调整底层，再调整整体，比如：

将3和5对换，变成：

依次调整，只不过9的节点是有序的，所以不用调整：

但是1的节点是无序的，所以需要调整：

最后得到个大根堆。

2、得到堆顶元素

我们得到一个有序堆，堆顶的元素为9，是这个堆中最大的数。

3、去掉堆顶，将堆最后一个元素放到堆顶，通过向下调整使堆有序，堆顶就是第二大元素

我们取走堆顶元素，将堆底部最后一个元素放到堆顶：

根据堆的性质向下调整得到：

再取走堆顶元素，再次把3调整到堆顶：

向下调整：

取走堆顶7，将堆尾2放到堆顶向下调整：

4、重复3步骤，直到堆为空

代码实现

def sift(li, low, high):
    """
    向下调整函数

    :param li: 列表
    :param low: 堆根节点
    :param high: 堆尾节点
    :return:
    """
    i = low     # 父节点
    j = 2 * i + 1   # 左子节点
    tmp = li[low]   # 存储堆顶
    while j <= high:    # j的位置有效，就一直循环
        if j+1 < high and li[j+1] > li[j]: # 如果右子节点比左子节点大且右子节点下标不大于根尾下标
            j += 1  # 则指针指向右子节点
        if li[j] > tmp: # 如果子节点大于tmp
            li[i] = li[j]   # 将子节点更换到父节点去
            i = j   # 父指针切换到子节点上
            j = 2*i+1   # 子指针切换到下一个左子节点上
        else:   # 否则就是tmp大
            break
    li[i] = tmp     # tmp就放在该父节点上（跳出循环时，tmp的值还没放进堆里面）

def heap_sort(li):
    """

    :param li:
    :return:
    """
    n = len(li)
    for i in range((n-2)//2, -1, -1):   # 构造堆函数，i代表构造堆的时候部分的根下标
        sift(li, i, n-1)
    for i in range(n-1, -1, -1):    # i是指向堆的最后一个元素
        li[0], li[i] = li[i], li[0]
        sift(li, 0, i-1)

li = [x for x in range(100)]
import random
random.shuffle(li)
print(li)
heap_sort(li)
print(li)