P3857 [TJOI2008]彩灯
线性基求张成出的子空间元素个数。
首先细读题目，我们发现对于每一盏被控制的灯，按下一次开关的操作相当于对其状态异或 \(1\)。我们可以考虑将问题转化成有 \(m\) 个非负整数 ，我们选取其中几个异或起来，求它们的方案数。异或是一种二进制不进位加法运算，自然而然的可以想到线性基。
现在假设我们已经求出了线性基向量组 \(S=\{\boldsymbol{x_1},\boldsymbol{x_2},\boldsymbol{x_3},\dots \boldsymbol{x_k}\}\)，所在的线性空间为 \(V\)。
本题我们要求：\(|T|,T=\{a_1\boldsymbol{x_1}+a_2\boldsymbol{x_2}+\dots a_k\boldsymbol{x_k}|a_i\in[0,1]\land a_i\in N\ \}\)。
先说结论：答案是所有 \(a_i\) 取值种数的乘积。即 \(2^k\)。
我们定义向量的基坐标：若 \(\boldsymbol{\alpha}\in V\) ，\(\boldsymbol{x_1},\boldsymbol{x_2},\boldsymbol{x_3},\dots \boldsymbol{x_k}\) 是线性空间 \(V\) 的一个基且 \(\boldsymbol{\alpha}=a_1\boldsymbol{x_1}+a_2\boldsymbol{x_2}+\dots a_k\boldsymbol{x_k},a_i\in R\) ，那么我们就称 \((a_1,a_2,a_3,\dots,a_k)\) 为这个向量在这个基下的坐标。
立刻能猜到，线性基张成的子空间元素数与坐标的一组 \((a_1,a_2,\dots,a_k)\) 的取值一一对应。
对一一对应性进行验证：
假设一个向量 \(\boldsymbol{\alpha}\in V\) 在线性基 \(\{\boldsymbol{x_1},\boldsymbol{x_2},\boldsymbol{x_3},\dots \boldsymbol{x_k}\}\) 下有两个不同坐标 \((a_1,a_2,\dots,a_k)\) ，\((b_1,b_2,b_3,\dots,b_k)\)。
那么
\[\boldsymbol{\alpha}=a_1\boldsymbol{x_1}+a_2\boldsymbol{x_2}+\dots a_k\boldsymbol{x_k}=b_1\boldsymbol{x_1}+b_2\boldsymbol{x_2}+\dots b_k\boldsymbol{x_k} \]把两种线性表示相减：
\[(a_1-b_1)\boldsymbol{x_1}+(a_2-b_2)\boldsymbol{x_2}+\dots (a_k-b_k)\boldsymbol{x_k}=0 \]进行分类讨论：
-
\(\forall\ i\in [1,k],\ a_i-b_i=0\)
可得 \(a_1=b_1,a_2=b_2\dots a_k=b_k\)
与题设“两个不同坐标”矛盾。
-
\(\exists\ i\in [1,k],\ a_i-b_i\ne 0\)。
不妨设 \(a_i-b_i\ne 0\) ，移项：
\[(a_1-b_1)\boldsymbol{x_1}+(a_2-b_2)\boldsymbol{x_2}+\dots (a_{i-1}-b_{i-1})\boldsymbol{x_{i-1}}+(a_{i+1}-b_{i+1})\boldsymbol{x_{i+1}} \dots (a_k-b_k)\boldsymbol{x_k}=(a_i-b_i)\boldsymbol{x_i} \]与 “\(\{\boldsymbol{x_1},\boldsymbol{x_2},\boldsymbol{x_3},\dots \boldsymbol{x_k}\}\) 是线性基”矛盾。
故基坐标与子空间中的向量一一对应。
由计数原理，线性基可以线性表示的向量个数为所有 \(a_i\) 取值个数的乘积，本题即为 \(2^k\)。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e3+10;
int n,m;
ll arr[N];
ll fpow(int k,int mod)
{
ll a=2,res=1;
while(k)
{
if(k&1) res=res*a%mod;
a=a*a; k>>=1;
}
return (res%mod+mod)%mod;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&m,&n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
char s[N];
scanf("%s",s+1);
for(int j=m;j>=1;j--)
{
arr[i]<<=1;
if(s[j]=='O') arr[i]+=1;
}
}
int k=0;
for(int i=63;i>=0;i--)
{
for(int j=k;j<n;j++)
if(arr[j]>>i&1)
{
swap(arr[j],arr[k]);
break;
}
if(!(arr[k]>>i&1)) continue;
for(int j=0;j<n;j++)
if(j!=k&&(arr[j]>>i&1))
arr[j]^=arr[k];
k++;
if(k==n) break;
}
printf("%lld",fpow(k,2008));
return 0;
}