自适应滤波:最小均方误差滤波器(LMS、NLMS)

作者:桂。

时间:2017-04-02  08:08:31

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自适应滤波:最小均方误差滤波器(LMS、NLMS)


【读书笔记08】

前言

西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版第五、六章:最小均方自适应滤波器(LMS,Least Mean Square)以及归一化最小均方自适应滤波器(NLMS,Normalized Least Mean Square)。全文包括:

  1)LMS与维纳滤波器(Wiener Filter)的区别;

  2)LMS原理及推导;

  3)NLMS推导;

  4)应用实例;

内容为自己的读书记录,其中错误之处,还请各位帮忙指出!

一、LMS与维纳滤波器(Wiener Filter)的区别

  • 这里介绍的LMS/NLMS,通常逐点处理,对应思路是:随机梯度下降;
  • 对于Wiener Filter,给定准则函数J,随机/批量梯度都可以得出最优解;
  • LMS虽然基于梯度下降,但准则仅仅是统计意义且通常引入误差,可以定义为$J_0$,简而言之$J$通常不等于$J_0$,得出的最优解$w_o$自然也通常不等于维纳最优解;
  • 分析LMS通常会分析稳定性,稳定性是基于Wiener解,之前已给出分析。但LMS是Wiener解的近似,所以:迭代步长的稳定性,严格适用于Wiener解,对于LMS只是一种近似参考,并没有充分的理论依据

下文的分析仍然随机梯度下降的思路进行。

二、LMS原理及推导

LMS是时间换空间的应用,如果迭代步长过大,仍然有不收敛的问题;如果迭代步长过小,对于不平稳信号,还没有实现寻优就又引入了新的误差,屋漏偏逢连夜雨!所以LMS系统是脆弱的,信号尽量平稳、哪怕短时平稳也凑合呢。

给出框图:

自适应滤波:最小均方误差滤波器(LMS、NLMS)

关于随机梯度下降,可以参考之前的文章。这里直接给出定义式:

自适应滤波:最小均方误差滤波器(LMS、NLMS)

利用梯度下降:

$- \nabla J = {\bf{x}}{\left( {{{\bf{w}}^T}{\bf{x}} - {d}} \right)^T}$

给出LMS算法步骤:

1)给定$\bf{w}(0)$,且$1<\mu<1/\lambda_{max}$;

2)计算输出值:$y\left( k \right) = {\bf{w}}{\left( k \right)^T}{\bf{x}}\left( k \right)$;

3)计算估计误差:$e\left( k \right) = d\left( k \right) - y\left( k \right)$;

4)权重更新:${\bf{w}}\left( {k + 1} \right) = {\bf{w}}\left( k \right) + \mu e\left( k \right){\bf{x}}\left( k \right)$

三、NLMS推导

看到Normalized,与之联系的通常是约束条件,看到约束不免想起拉格朗日乘子。思路有了,现在开始分析:

假设${\bf{w}}\left( k \right) \Rightarrow {\bf{w}}\left( {k + 1} \right)$得到最优权重,即:

$d\left( k \right) = {\bf{w}}\left( {k + 1} \right){\bf{x}}\left( k \right)$

我们希望在得到期望权重的附近,迭代不要过大以免错过最优值:

自适应滤波:最小均方误差滤波器(LMS、NLMS)

写出准则函数:

自适应滤波:最小均方误差滤波器(LMS、NLMS)

利用之前文章提到的拉格朗日乘子法

自适应滤波:最小均方误差滤波器(LMS、NLMS)

这里仅仅分析基于欧式距离$p = 2$的情形,其它范数类似。求解得出:

自适应滤波:最小均方误差滤波器(LMS、NLMS)

通常为了防止分母为零迭代方程需要修正,而修正后步长存在偏差,故添加调节因子$\mu$:

自适应滤波:最小均方误差滤波器(LMS、NLMS)

给出NLMS算法步骤:

1)给定$\bf{w}(0)$;

2)计算输出值:$y\left( k \right) = {\bf{w}}{\left( k \right)^T}{\bf{x}}\left( k \right)$;

3)计算估计误差:$e\left( k \right) = d\left( k \right) - y\left( k \right)$;

4)权重更新:${\bf{w}}\left( {k + 1} \right) = {\bf{w}}\left( k \right) + \frac{\mu }{{\alpha  + {{\left| {{\bf{x}}\left( k \right)} \right|}^2}}}{\bf{x}}\left( k \right){e^*}\left( k \right)$

四、应用实例

  A-自适应噪声滤波

这个场景可以简化为:一个房间两个麦克风,一个放在远处采集房间噪声,一个放在说话人附近采集带噪语音,认为两个音频文件的噪声相似。

这里噪声直接用白噪声,对应实际场景可以认为是采集的噪声数据,给出主要代码:

[s, fs, bits] = wavread(filename);
s=s-mean(s);
s=s/max(abs(s));
N=length(s);
time=(0:N-1)/fs;
%%生成带噪信号
clean=s';
ref_noise=0.1*randn(1,length(s));
mixed = clean+ref_noise
%NLMS
mu=0.05;M=32;espon=1e-4;
% [en,wn,yn]=lmsFunc(mu,M,ref_noise,mixed);%
[en,wn,yn]=nlmsFunc(mu,M,ref_noise,mixed,espon);

LMS代码:

function [e,w,ee]=lmsFunc(mu,M,u,d)
% Normalized LMS
% Call:
% [e,w]=nlms(mu,M,u,d,a);
%
% Input arguments:
% mu = step size, dim 1x1
% M = filter length, dim 1x1
% u = input signal, dim Nx1
% d = desired signal, dim Nx1
% a = constant, dim 1x1
%
% Output arguments:
% e = estimation error, dim Nx1
% w = final filter coefficients, dim Mx1
%intial value 0 w=zeros(M,1); %This is a vertical column %input signal length
N=length(u);
%make sure that u and d are colon vectors
u=u(:);
d=d(:);
%NLMS
ee=zeros(1,N);
for n=M:N %Start at M (Filter Length) and Loop to N (Length of Sample)
uvec=u(n:-1:n-M+1); %Array, start at n, decrement to n-m+1
e(n)=d(n)-w'*uvec;
w=w+2*mu*uvec*e(n);
% y(n) = w'*uvec; %In ALE, this will be the narrowband noise.
end

NLMS代码:

function [e,w,ee]=nlmsFunc(mu,M,u,d,a)
% Normalized LMS
% Call:
% [e,w]=nlms(mu,M,u,d,a);
%
% Input arguments:
% mu = step size, dim 1x1
% M = filter length, dim 1x1
% u = input signal, dim Nx1
% d = desired signal, dim Nx1
% a = constant, dim 1x1
%
% Output arguments:
% e = estimation error, dim Nx1
% w = final filter coefficients, dim Mx1
%intial value 0 w=zeros(M,1); %This is a vertical column %input signal length
N=length(u);
%make sure that u and d are colon vectors
u=u(:);
d=d(:);
%NLMS
ee=zeros(1,N);
for n=M:N %Start at M (Filter Length) and Loop to N (Length of Sample)
uvec=u(n:-1:n-M+1); %Array, start at n, decrement to n-m+1
e(n)=d(n)-w'*uvec;
w=w+mu/(a+uvec'*uvec)*uvec*e(n);
% y(n) = w'*uvec; %In ALE, this will be the narrowband noise.
end

对应结果图:

自适应滤波:最小均方误差滤波器(LMS、NLMS)

可以看出LMS/NLMS在最开始都有一个自适应的过程。

自适应滤波:最小均方误差滤波器(LMS、NLMS)

NLMS基于信号$x$的能量实现变步长,信号大步长小,信号小则步长大:目标信号明显,则迭代细致,不明显,则一带而过,呵呵,跟平时看书还挺像,聪明的孩子。

再来看一组信号:

自适应滤波:最小均方误差滤波器(LMS、NLMS)

这里在中间令噪声突变,可以看到滤波器又需要重新自适应,因此对于短时平稳LMS勉强使用,如果不断变呢?非平稳LMS自然无效了,这个时候就需要Kalman Filter来搭把手。

  B-工频噪声滤波

现在有一个音频信号,分析频谱:

自适应滤波:最小均方误差滤波器(LMS、NLMS)

可以看到信号带有明显的$50Hz$噪声,我们知道$50Hz$的正弦与余弦可以组合成任意相位的$50Hz$频率信号,基于这个思路,进行自适应滤波:

给出主要的代码:

x1=cos(2*pi*50*time);
x2=sin(2*pi*50*time);
w1=0.1;
w2=0.1;
e=zeros(1, N);
y=zeros(1, N);
mu=0.05;
for i=1: N
y(i)=w1 * x1(i)+ w2 * x2(i);
e(i) =x(i)-y(i);
w1=w1+mu * e(i) * x1(i);
w2=w2+mu * e(i) * x2(i);
end

结果图可以看出,工频50Hz滤除:

自适应滤波:最小均方误差滤波器(LMS、NLMS)

基于LMS的应用还有很多,不一一说啦。

参考:

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