文字描述
与AOV-网相对应的是AOE-网(Activity on Edge)即边表示活动的网。AOE-网是一个带权的有向无环图。其中，顶点表示事件Event，弧表示活动，权表示活动持续的时间。通常，AOE-网可用来估算工程的完成时间。
对AOE-网来说，研究的问题有两个：(1)完成整项工程至少需要多少时间？(2)哪些活动是影响工程进度的关键?
由于在AOE-网中有些活动可以并行地进行，所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度(指路径上各活动持续时间之和，不是路径上弧的数目)。路径长度最长的路径叫做关键路径。
假设开始点是v1，从v1到vi的最长路径叫事件vi的最早发生时间。这个时间决定了所有以vi为尾的弧所表示的活动的最早开始时间。用e(i)表示活动ai的最早开始时间。用l(i)表示ai的最迟开始时间，这是在不推迟整个工程完成的前提下，活动ai最迟必须开始进行的时间。两者之差l(i)-e(i)表示活动ai的时间余量。我们把l(i)==e(i)的活动叫做关键活动。
显然，关键路径上的所有活动都是关键活动，因此提前完成非关键活动并不能加快工程的进度。
那么如何求得各个活动的最早开始时间e(i)和最晚开始时间l(i)呢？首先应求得事件的最早发生时间ve(j)和最迟发生时间vl(j)。如果活动ai由弧<j,k>表示，其持续时间记为dut(<j,k>)，则有如下关系：
e(i) = ve(j)
l(i) = vl(k) – dut(<j,k>)
求ve(j)和vl(j)需分两步进行：
(1) 从ve(0)=0开始向前递推
(2) 从vl(n-1)=ve(n-1)起向后递推
这两个递推公式可以利用之前的拓扑排序算法求得。
示意图
算法分析
算法复杂度同拓扑排序算法，为O(n+e)。
代码实现
//
// Created by lady on 18-12-29.
// #include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#define MAX_VERTEX_NUM 20 //最大顶点数
#define MAX_EDGE_NUM 50 //最大弧数
typedef enum {DG,DN, UDG, UDN} GraphKind; //{有向图，有向网，无向图，无向网}
typedef struct ArcNode{
int adjvex; //该弧所指向的顶点的位置
struct ArcNode *nextarc; //指向下一条弧的指针
int info; //该弧相关信息的指针
}ArcNode;
typedef struct VNode{
char data[];//顶点信息
ArcNode *firstarcIN;//第一条以该顶点为弧头的弧结点，其他顶点->该结点
ArcNode *firstarcOUT;//第一条以该顶点为弧尾的弧结点，该结点->其他顶点
}VNode, AdjList[MAX_VERTEX_NUM];
typedef struct{
AdjList vertices;
int vexnum;//图的顶点数
int arcnum;//图的弧数
int kind; //图的种类标志
}ALGraph; //根据顶点信息，返回该顶点在图中的位置坐标。
int LocateVex(ALGraph *G, char data[])
{
int i = ;
for(i=; i<G->vexnum; i++){
if(!strncmp(G->vertices[i].data, data, strlen(G->vertices[i].data))){
return i;
}
}
return -;
} //利用头插法，在弧结点链表头部，插入位置v的弧结点
int InsFirst(ArcNode *L, int v, int weight)
{
if((L==NULL) || (v<)){
return -;
}
ArcNode *n = (ArcNode *)malloc(sizeof(struct ArcNode));
n->adjvex = v;
n->nextarc = L->nextarc;
n->info = weight;
L->nextarc = n;
return ;
} //采用邻接表存储方法，创建有向网，即带权的有向图
int CreateDN(ALGraph *G)
{
printf("开始创建一个有向图,请输入顶点数，弧数:");
int i = , j = , k = ;
char v1[] = {}, v2[]={}, info[] = {};
char tmp[] = {};
G->kind = DN;
scanf("%d,%d", &G->vexnum, &G->arcnum);
for(i=; i<G->vexnum; i++){
printf("输入第%d个顶点: ", i+);
memset(G->vertices[i].data, , sizeof(G->vertices[i].data));
scanf("%s", G->vertices[i].data);
G->vertices[i].firstarcOUT = (struct ArcNode *)malloc(sizeof(struct ArcNode));
G->vertices[i].firstarcOUT->adjvex = -;
G->vertices[i].firstarcOUT->nextarc = NULL;
G->vertices[i].firstarcIN = (struct ArcNode *)malloc(sizeof(struct ArcNode));
G->vertices[i].firstarcIN->adjvex = -;
G->vertices[i].firstarcIN->nextarc = NULL;
}
for(k=; k<G->arcnum; k++)
{
printf("输入第%d条弧(顶点1, 顶点2, 权值): ", k+);
memset(tmp, , sizeof(tmp));
scanf("%s", tmp);
// sscanf(tmp, "%[^','],%s[^\\n]", v1, v2);
sscanf(tmp, "%[^','],%[^','],%s[^\\n]", v1, v2, info);
i = LocateVex(G, v1);
j = LocateVex(G, v2);
if(i< || j<){
printf("<%s,%s> is a invalid arch!\n", v1, v2);
return -;
}
InsFirst(G->vertices[i].firstarcOUT, j, atoi((const char *)info));
InsFirst(G->vertices[j].firstarcIN, i, atoi((const char *)info));
}
return ;
} void printG(ALGraph *G)
{
printf("\n");
if(G->kind == DG){
printf("类型：有向图；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G->vexnum, G->arcnum);
}else if(G->kind == DN){
printf("类型：有向网；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G->vexnum, G->arcnum);
}else if(G->kind == UDG){
printf("类型：无向图；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G->vexnum, G->arcnum);
}else if(G->kind == UDN){
printf("类型：无向网；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G->vexnum, G->arcnum);
}
int i = ;
ArcNode *p = NULL;
printf("邻接表:\n");
for(i=; i<G->vexnum; i++){
printf("(%d,%s)\t", i,G->vertices[i].data);
p = G->vertices[i].firstarcOUT;
while(p){
if(p->adjvex >= )
printf("(%d,%s) %d\t", p->adjvex, G->vertices[p->adjvex].data, p->info);
p = p->nextarc;
}
printf("\n");
}
printf("逆邻接表:\n");
for(i=; i<G->vexnum; i++){
printf("(%d,%s)\t", i,G->vertices[i].data);
p = G->vertices[i].firstarcIN;
while(p){
if(p->adjvex >= )
printf("(%d,%s) %d\t", p->adjvex, G->vertices[p->adjvex].data, p->info);
p = p->nextarc;
}
printf("\n");
}
return;
} #define STACK_INIT_SIZE 20 //栈的初始分配量大小
#define STACK_INCREMENT 5 //栈容量不足时需新增的容量大小
typedef struct {
int *base; //指向栈底指针
int *top; //指向栈顶指针
int stacksize; //栈的当前容量大小
}SqStack;
int InitStack(SqStack *s); //初始化一个栈
int StackEmpty(SqStack *s); //判断栈是否为空
int Push(SqStack *S, int *e); //入栈函数
int Pop(SqStack *S, int *e); //出栈函数 //算法各个顶点的入度，并将结果存放在indegree数组中
int FindInDegree(ALGraph *G, int indegree[])
{
printf("\n对各个顶点求入度...\n");
int i = ;
ArcNode *p = NULL;
for(i=; i<G->vexnum; i++) {
p = G->vertices[i].firstarcIN;
while (p) {
if (p->adjvex >= ) {
indegree[i] += ;
}
p = p->nextarc;
}
}
for(i=; i<G->vexnum; i++){
printf("(%d,%s)的入度为%d\n", i, G->vertices[i].data, indegree[i]);
}
return ;
}
int ve[MAX_EDGE_NUM] = {};
int vl[MAX_EDGE_NUM] = {}; int ToplogicalSort(ALGraph *G, SqStack *T)
{
int i = ;
int j = ;
int k = ;
int count = ;
int indegree[MAX_VERTEX_NUM] = {};
ArcNode *p = NULL;
SqStack S;
//求各个顶点的入度
FindInDegree(G, indegree);
//初始化栈S，保存零入度顶点栈
InitStack(&S);
//将入度为0的顶点入栈S.
for(i=; i<G->vexnum; i++){
if(!indegree[i]) {
Push(&S, &i);
}
}
//初始化栈T，为拓扑序列顶点栈
InitStack(T);
//初始化
for(i=; i<G->vexnum; i++){
ve[i] = ;
}
printf("\n进行拓扑排序:");
while(StackEmpty(&S)){
Pop(&S, &j);
//j号顶点入T栈并计数
Push(T, &j);
++count;
printf("(%d,%s)\t", j, G->vertices[j].data);
//对j号顶点的每个邻接点的入度减1
for(p=G->vertices[j].firstarcOUT; p; p=p->nextarc){
k = p->adjvex;
if(k<){
continue;
}
//若入度为0,则入栈S
if(!(--indegree[k])){
Push(&S, &k);
}
if(ve[j]+p->info > ve[k])
ve[k] = ve[j]+p->info;
}
}
printf("\n");
if(count<G->vexnum){
//该有向网有环
return -;
}else{
return ;
}
} //G为有向图， 输出G的各项关键活动
int CriticalPath(ALGraph *G)
{
SqStack T;
if(ToplogicalSort(G, &T)<){
return -;
}
int i = ;
int j = ;
int k = ;
int dut = ;
ArcNode *p = NULL;
//初始化顶点时间的最迟发生时间
for(i=; i<G->vexnum; i++){
vl[i] = ve[i];
}
//按照拓扑逆序求各顶点的vl值
while(StackEmpty(&T)){
Pop(&T, &j); for(p=G->vertices[j].firstarcOUT; p; p=p->nextarc){
k = p->adjvex;
if(k<)
continue;
dut = p->info; //dut(<j,k>)
if(vl[k]-dut < vl[j])
vl[j] = vl[k] - dut;
} for(p=G->vertices[j].firstarcIN; p; p=p->nextarc) {
k = p->adjvex;
if (k < )
continue;
dut = p->info; //dut<k,j> if (vl[j] - dut > vl[k]) {
vl[k] = vl[j] - dut;
}
}
}
printf("\n输出各个顶点的最早发生时间ve和最晚发生时间vl\n");
for(i=; i<G->vexnum; i++){
printf("ve(%d,%s)=%d\t", i, G->vertices[i].data, ve[i]);
printf("vl(%d,%s)=%d\n", i, G->vertices[i].data, vl[i]);
}
int ee = ;
int el = ;
char tag = ;
printf("\n输出各活动的最早发生时间ee和最晚发生时间el, *表示该活动为关键路径\n");
for(j=; j<G->vexnum; j++){
for(p=G->vertices[j].firstarcOUT; p; p=p->nextarc){
k = p->adjvex;
if(k<){
continue;
}
dut = p->info;
ee = ve[j];
el = vl[k]-dut;
tag = (ee==el)?'*':' ';
//输出关键活动
printf("(%d,%s)->(%d,%s), weight:%d, ee=%d, el=%d, tag=%c\n", j, G->vertices[j].data, k, G->vertices[k].data, dut, ee, el, tag);
}
}
return ;
} int main(int argc, char *argv[])
{
ALGraph G;
//创建有向图
if(CreateDN(&G)<){
printf("创建有向图时出错!\n");
return -;
}
//打印图
printG(&G);
//求关键路径
CriticalPath(&G);
return ;
} int InitStack(SqStack *S){
S->base = (int *) malloc(STACK_INIT_SIZE * sizeof(int));
if(!S->base){
return -;
}
S->top = S->base;
S->stacksize = STACK_INIT_SIZE;
return ;
} int StackEmpty(SqStack *s){
if(s->base == s->top){
return ;
}else{
return -;
}
} int Push(SqStack *s, int *e){
if((s->top-s->base) >= s->stacksize){
s->base = (int*)realloc(s->base, (s->stacksize+STACK_INCREMENT)*(sizeof(int)));
if(!s->base){
return -;
}
s->top = s->base + s->stacksize;
s->stacksize += STACK_INCREMENT;
}
if(e == NULL){
return -;
}else{
*s->top = *e;
}
s->top += ;
return ;
} int Pop(SqStack *s, int *e)
{
if(s->top == s->base) {
return -;
}else{
s->top -=;
*e = *s->top;
return ;
}
}
求有向无环网的关键路径
代码运行
/home/lady/CLionProjects/untitled/cmake-build-debug/untitled
开始创建一个有向图,请输入顶点数，弧数:9,11
输入第1个顶点: V1
输入第2个顶点: V2
输入第3个顶点: V3
输入第4个顶点: V4
输入第5个顶点: V5
输入第6个顶点: V6
输入第7个顶点: V7
输入第8个顶点: V8
输入第9个顶点: V9
输入第1条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V1,V2,6
输入第2条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V1,V3,4
输入第3条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V1,V4,5
输入第4条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V2,V5,1
输入第5条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V3,V5,1
输入第6条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V4,V6,2
输入第7条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V5,V7,9
输入第8条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V5,V8,7
输入第9条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V6,V8,4
输入第10条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V7,V9,2
输入第11条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V8,V9,4 类型：有向网；顶点数 9, 弧数 11
邻接表:
(0,V1) (3,V4) 5 (2,V3) 4 (1,V2) 6
(1,V2) (4,V5) 1
(2,V3) (4,V5) 1
(3,V4) (5,V6) 2
(4,V5) (7,V8) 7 (6,V7) 9
(5,V6) (7,V8) 4
(6,V7) (8,V9) 2
(7,V8) (8,V9) 4
(8,V9)
逆邻接表:
(0,V1)
(1,V2) (0,V1) 6
(2,V3) (0,V1) 4
(3,V4) (0,V1) 5
(4,V5) (2,V3) 1 (1,V2) 1
(5,V6) (3,V4) 2
(6,V7) (4,V5) 9
(7,V8) (5,V6) 4 (4,V5) 7
(8,V9) (7,V8) 4 (6,V7) 2 对各个顶点求入度...
(0,V1)的入度为0
(1,V2)的入度为1
(2,V3)的入度为1
(3,V4)的入度为1
(4,V5)的入度为2
(5,V6)的入度为1
(6,V7)的入度为1
(7,V8)的入度为2
(8,V9)的入度为2 进行拓扑排序:(0,V1) (1,V2) (2,V3) (4,V5) (6,V7) (3,V4) (5,V6) (7,V8) (8,V9) 输出各个顶点的最早发生时间ve和最晚发生时间vl
ve(0,V1)=0 vl(0,V1)=0
ve(1,V2)=6 vl(1,V2)=6
ve(2,V3)=4 vl(2,V3)=6
ve(3,V4)=5 vl(3,V4)=8
ve(4,V5)=7 vl(4,V5)=7
ve(5,V6)=7 vl(5,V6)=10
ve(6,V7)=16 vl(6,V7)=16
ve(7,V8)=14 vl(7,V8)=14
ve(8,V9)=18 vl(8,V9)=18 输出各活动的最早发生时间ee和最晚发生时间el, *表示该活动为关键路径
(0,V1)->(3,V4), weight:5, ee=0, el=3, tag=
(0,V1)->(2,V3), weight:4, ee=0, el=2, tag=
(0,V1)->(1,V2), weight:6, ee=0, el=0, tag=*
(1,V2)->(4,V5), weight:1, ee=6, el=6, tag=*
(2,V3)->(4,V5), weight:1, ee=4, el=6, tag=
(3,V4)->(5,V6), weight:2, ee=5, el=8, tag=
(4,V5)->(7,V8), weight:7, ee=7, el=7, tag=*
(4,V5)->(6,V7), weight:9, ee=7, el=7, tag=*
(5,V6)->(7,V8), weight:4, ee=7, el=10, tag=
(6,V7)->(8,V9), weight:2, ee=16, el=16, tag=*
(7,V8)->(8,V9), weight:4, ee=14, el=14, tag=* Process finished with exit code 0
/home/lady/CLionProjects/untitled/cmake-build-debug/untitled
开始创建一个有向图,请输入顶点数，弧数:6,8
输入第1个顶点: V1
输入第2个顶点: V2
输入第3个顶点: V3
输入第4个顶点: V4
输入第5个顶点: V5
输入第6个顶点: V6
输入第1条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V1,V2,3
输入第2条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V1,V3,2
输入第3条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V2,V4,2
输入第4条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V2,V5,3
输入第5条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V3,V4,4
输入第6条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V3,V6,3
输入第7条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V4,V6,2
输入第8条弧(顶点1, 顶点2, 权值): V5,V6,1 类型：有向网；顶点数 6, 弧数 8
邻接表:
(0,V1) (2,V3) 2 (1,V2) 3
(1,V2) (4,V5) 3 (3,V4) 2
(2,V3) (5,V6) 3 (3,V4) 4
(3,V4) (5,V6) 2
(4,V5) (5,V6) 1
(5,V6)
逆邻接表:
(0,V1)
(1,V2) (0,V1) 3
(2,V3) (0,V1) 2
(3,V4) (2,V3) 4 (1,V2) 2
(4,V5) (1,V2) 3
(5,V6) (4,V5) 1 (3,V4) 2 (2,V3) 3 对各个顶点求入度...
(0,V1)的入度为0
(1,V2)的入度为1
(2,V3)的入度为1
(3,V4)的入度为2
(4,V5)的入度为1
(5,V6)的入度为3 进行拓扑排序:(0,V1) (1,V2) (4,V5) (2,V3) (3,V4) (5,V6) 输出各个顶点的最早发生时间ve和最晚发生时间vl
ve(0,V1)=0 vl(0,V1)=0
ve(1,V2)=3 vl(1,V2)=4
ve(2,V3)=2 vl(2,V3)=2
ve(3,V4)=6 vl(3,V4)=6
ve(4,V5)=6 vl(4,V5)=7
ve(5,V6)=8 vl(5,V6)=8 输出各活动的最早发生时间ee和最晚发生时间el, *表示该活动为关键路径
(0,V1)->(2,V3), weight:2, ee=0, el=0, tag=*
(0,V1)->(1,V2), weight:3, ee=0, el=1, tag=
(1,V2)->(4,V5), weight:3, ee=3, el=4, tag=
(1,V2)->(3,V4), weight:2, ee=3, el=4, tag=
(2,V3)->(5,V6), weight:3, ee=2, el=5, tag=
(2,V3)->(3,V4), weight:4, ee=2, el=2, tag=*
(3,V4)->(5,V6), weight:2, ee=6, el=6, tag=*
(4,V5)->(5,V6), weight:1, ee=6, el=7, tag= Process finished with exit code 0