2019-2020 XX Open Cup, Grand Prix of Korea
J. Park life
题意
给你S个节点,E条边,每条边有一个美丽值且每条边能覆盖[l,r)的点,询问 \(k\in [1,n]\) 每个点最多被覆盖k次的总美丽值的最大值
题解
把每个序列加上一个'源点'按照左端点小,右端点大排序,,则可以得到一个树的先序序列,从而可以构建出一棵树。(不加源点会出现森林)
可以容易想到一个树形dp,第i个节点,选择i和不选择i,\(dp[x][k]=max(\sum dp[son][k],dp[son][k-1]+val[x]\))(但是会超时需要优化)
因为k一定是在k-1的基础上额外选择节点,所以答案一定是递增的,可以用小根堆维护子树的信息。
设节点i的答案集合为\(dp[i]\),代表 i 子树中,所有顶点最多被''覆盖''一次的答案集合:
对于叶子节点肯定只有val这一个权值(dp[i]=val),对于祖宗节点,答案集合为所有儿子集合的组合+val。因为要求答案递增,所以一定是从小到大或从大到小顺序的组合。
题意也可以这么理解,选过的边不能重复选,\(ans_k\)为不间断选k次的最大值,则上述的dp[0]从大到小分别是第i次每个点最多被覆盖一次的答案,所以题目答案\(ans_k=\sum_{i\in son[0]} dp[i]\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3e5+7;
int n,val[N];
struct node
{
int l,r,pos;
}a[N];
vector <int> f[N];
priority_queue <long long >dp[N];
bool cmp(node x,node y)
{
if(x.l==y.l)
return x.r>y.r;
return x.l<y.l;
}
struct compare
{
bool operator ()(node x,node y)
{
if(x.l==y.l)
return x.r>y.r;
return x.l<y.l;
}
};
void get_tree()
{
stack <node>s;
for(int i=n;i>=0;i--)
{
while(!s.empty()&&(a[i].r>=s.top().r))
{
f[a[i].pos].push_back(s.top().pos);
s.pop();
}
s.push(a[i]);
}
}
void dfs(int x)
{
for(auto i:f[x])
{
dfs(i);
if(dp[i].size()>dp[x].size())
{
swap(dp[x],dp[i]);//启发式合并
}
vector <long long > temp;
while(!dp[i].empty()) //答案集合的顺序组合
{
temp.push_back(dp[i].top()+dp[x].top());
dp[i].pop();
dp[x].pop();
}
for(auto j:temp)
{
dp[x].push(j);
}
}
dp[x].push(val[x]);//加上val
}
void print()
{
for(int i=0;i<=n;i++)
{
printf("i:%d\n",i);
for(auto j:f[i])
{
printf("%d\n",j);
}
printf("\n");
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
a[0].l=0,a[0].r=1e6+5;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d %d %d",&a[i].l,&a[i].r,&val[i]);
a[i].r--;
a[i].pos=i;
}
sort(a,a+n+1,cmp);
get_tree();
dfs(0);
long long ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!dp[0].empty())
{
ans+=dp[0].top();//每次答案累加
dp[0].pop();
}
printf("%lld ",ans);
}
return 0;
}
/*
6
1 2 10
2 3 10
1 3 21
3 4 10
4 5 10
3 5 19
4
1 5 1
2 5 1
3 5 1
4 5 1
*/