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Minitab中相关系数R-Sq和修正的相关系数R-Sq(adj)的意思，计算公式和区别

在Minitab做回归方程，或类似的运算中，经常会碰到多元相关系数R-Sq和修正的多元相关系数R-Sq(adj)，那么，这2个是什么意思？具体的计算公式和区别是什么？

拟合的总效果多元全相关系数(Multiple correlation coefficient) R²(即R=Sq)和修正的多元相关系数(Adjusted multiple correlation coefficient)R²adj(即R-Sq(adj))

由回归方程中的平方和分解公式可知：

SSTotal = SSModel + SSError

考虑到SSModel在SSTotal中的比例，定义R平方(R-Square，简记R-Sq)：

R² = SSModel/SSTotal

显然，此数值越接近于1就越好，意味着SSError就越小，同样，上面的公式可以写成

R² = 1- (SSError/SSTotal)

如果将自变量的这种可控的普通变量数据也堪称随机变量，则可以求出二者间的相关系数(Correlation coefficient)。而R-sq恰好就是相关系数的平方。因此，它的含义是很好理解的。对于多个自变量的情况，定义不变，它被推广为“多元决定系数”，仍然表示SSModel在SSTotal中的比例。但他也有一个缺点：当自变量个数增加时，例如只增加一个新自变量，不管增加的这个自变量是否显著，R²(R-Sq)都会增加一些，因而在评价是否该增加此变量进入回归方程时，使用R²就没有价值了。为此，我们引入修正的R²，即R²adj，它的定义是：

上式中，n为观测值的总个数，p为回归方程中的总项数(包括常数项在内)。也就是说，R²adj(即R-Sq(adj))是扣除了回归方程中所受到的包含项数的影响的相关系数，因而可以更准确地反映模型的好坏，同样，它也是越接近于1就越好，而且在实际应用中，由于回归方程所含项数p总会大于等于1，因而容易看出，R²adj总比R²要稍小一些。

因此，要判断两个模型的优劣可以从R-Sq(adj)和R-Sq的接近程度来判断：二者之差越小则说明模型越好，我们常常比较包含所有自变量有关项的“全模型”与删去所有影响不显著的项后的“缩减模型”，看看究竟哪个更好，如果将影响不显著地项删去之后，二者更接近，则说明删去这些项确实使模型得到改进。