LCT总结——应用篇（附题单）（LCT）

2023-02-12 19:48:56

为了优化体验（其实是强迫症），蒟蒻把总结拆成了两篇，方便不同学习阶段的Dalao们切换。

LCT总结——概念篇戳这里

题单

灰常感谢XZY巨佬提供的强力资磁！（可参考XZY巨佬的博客总结）

题单对于系统地学习一个知识点还是有好处的。

所以蒟蒻搜集了各处的LCT题目（其实作为近年新兴的知识点，现有的好题不是很多，有些题树剖也可做）

大概按细化分类进行整理（类比下面的几个细化知识点，会有重复的列举）

同一类中的题目也大概按难度递增吧（太弱了，对每个题的难度定位或许有不准的地方，欢迎讨论！）

维护链信息（LCT上的平衡树操作）

动态维护连通性&双联通分量（可以说是并查集的升级，因为并查集只能连不能断）

维护边权（常用于维护生成树）

维护子树信息

维护树上染色联通块

特殊题型

操作升级！（模板以外的细化总结）

维护链信息（LCT上的平衡树操作）

思路与模板基本都很像了，就不展开讨论了

例题1

洛谷P1501 [国家集训队]Tree II(点击进入题目）

感觉难度评定也高了点吧

有了链上乘法和链上加法，那肯定是像线段树区间修改那样使用懒标记了。

放标记的做法来自[模板]线段树2

那里发题解的Dalao们都讲得挺好的，本蒟蒻参考一下。

蒟蒻的题解在这里

例题2

洛谷P3203 [HNOI2010]弹飞绵羊（点击进入题目）

略带一点思维，但是代码比模板还简单。。。。。。

在LCT模板基础上进行灵活运用，可以使代码和程序都做到高效。

蒟蒻的题解在这里

例题3

洛谷P4332 [SHOI2014]三叉神经树

没有那么裸了，仔细分析并利用好题目的性质

蒟蒻的题解在这里

动态维护连通性&双联通分量

维护连通性？findroot判一下就好啦！属于模板范畴

至于双连通分量，LCT好像只能资磁加边。。。。。。

LCT中的每个点其实代表的是一个双连通分量，维护每个点属于哪个双连通分量需要在外面弄一个并查集维护。

加边时，如果两点不连通就link；

如果连通就说明有环，把环缩成一个点，在并查集里也全部合并在一起

其中要注意很多细节，具体就看下下面例题2的代码吧

例题1

洛谷P3950 部落冲突（点击进入题目）

正解不是LCT。。。。。。

只是这里用LCT的思路非常简单甚至于无脑。。。。。。

蒟蒻题解

例题2

洛谷P2542 [AHOI2005]航线规划（点击进入题目）

基础的动态维护双连通分量，具体就看看题解吧

蒟蒻题解

维护链上的边权信息（生成树）

普通LCT维护点权，那对于边权呢？比如要获取一条路径上最长的边，等等。

这种维护的最经典的应用，大概就是动态维护一颗最小/大生成树了（需要获取边长度等信息）。

我起初有一种想法。

一棵树，除了根节点，每个节点有且仅有一条父边。

那么如果我们只要边的信息，可不可以就把LCT中的点的点权当成父边的边权呢？

在其它不少数据结构中好像是可以这样做的。

只不过LCT性质非常特殊。一旦换了根，原先边的父子关系就破坏了。所以并不能这样做。

那又如何是好呢？

我在网上看到有些博客介绍的方法，是把边置于LCT外，然后在LCT节点中维护父边和重子边的编号，需要更新信息时从外部获取，在access，link，cut时额外更改。

这样好像挺麻烦的，要维护那么多东西。

另一种更抽象的做法，也是我要分享的，就是两个字——拆边，把边视作为一个点，向该边的两个端点连两条边。

只需要维护边权的时候，边权存在LCT中代表边的点权里，因为不需要维护真正的点权，所以LCT中的代表点的点权可以设成空的（0），不会影响信息的正确性。于是就变成了维护点权。

当然了，原先我们的link和cut是对于两个点的，现在有点不一样了（因为两点之间又多了一个代表边的点）

update:发现之前描述的写法有问题，且并不能优化多少常数，在这里更正一下

写法就是link/cut两次，比如

    link(e[i].id,e[i].x);link(e[i].id,e[i].y);

    cut(e[i].id,e[i].x);cut(e[i].id,e[i].y);

例题一

洛谷P4180 [BJWC2010]次小生成树

其实这道题用LCT不是正解，不过是可做的（update：我后来又写了LCT），放在这里一下吧。

用LCT维护最小生成树，再去枚举非树边尝试替换树边，更新最优答案。

TPLY巨佬也用LCT做的（某问题导致常数巨大？），他的题解在这里

蒟蒻题解在这里

例题二

洛谷P2387 [NOI2014]魔法森林

我太弱啦！这种双关键字的维护我是真的没有思路，边看着题解边打出来的。orz XZY&XZZ两位巨佬，题解点赞！

不过作为LCT维护边权的好题目还是值得分享。

蒟蒻题解在这里

维护虚子树信息总和与原树信息总和

有时候，我们需要的并不是维护链的信息，而是子树的信息。要知道，LCT是长于维护链的信息，而弱于维护子树信息（这方面不得不承认树剖的用处了，还要赶紧学）。然而动态的连边和断边，又不得不要求我们使用LCT来维护。

其实，我们还是不会束手无策的。

维护子树信息总和的一些常见题型，无非就是询问整棵（原树中的）子树的总大小、权值总和、最值之类的东西。

我们已经可以通过辅助树Splay来获知Splay中的实子树（也就是原树中的一条链）的信息总和。

既然原树的边只有实与虚，子树也只有实与虚，那么如果要想维护好原树的信息总和，我们是不是首先要知道虚子树的信息总和？

注：以下设虚子树信息总和用数组si表示，原树信息总和用s表示。此处si[x]只包含x所有虚子树（通过轻边指向x）的信息总和，而s[x]实际上是在LCT中的所有儿子的信息总和（包括辅助树Splay中相对的左右儿子的总和与被轻边所指的绝对的虚子树的总和）。

那么如果我们确定了si[x]的值，是不是就知道了s[x]的值了？实加虚嘛！

这就是pushup，代码

inline void pushup(int x){

	s[x]=s[c[x][0]]+s[c[x][1]]+si[x]+1;//大小总和，注意别漏了+1，自己也要算上

    //或者

	s[x]=s[c[x][0]]+s[c[x][1]]+si[x]+v[x];//权值总和，自己同样也要算上

}

先不对这种方法是怎样来的这个问题追本溯源，那我们就可以直接考虑si如何维护了。

还是直接假设我们已经提前维护好了si吧。

很显然，si的变化取决于虚实边的变化，所以现在我们只考虑LCT中的每个操作会对虚实边产生怎样的影响。

  • splay(x):显然这一操作只会改变节点在辅助树Splay中的相对位置，并不会对树中的虚子树信息产生任何影响。过程中的pushup会正确地更新s。
  • access(x):这个时候，我们发现，循环中每一次splay(x)后，我们更改了x的右子树，也就是更改了虚实边，那么会对信息产生影响。

    这里的影响，无非就是得到了一个虚儿子，失去了一个虚儿子，总和没有改变。

    于是直接改就好啦，si加上原来右儿子的s，再减去新的右儿子的s。

    与原模板略有不同的代码
inline void access(int x){

	for(int y=0;x;x=f[y=x]){

		splay(x);

		si[x]+=s[c[x][1]];

		si[x]-=s[c[x][1]=y];

		pushup(x);

//如果pushup只是更新原树信息总和s的话，甚至这里可以不写，毕竟加一个减一个，和没变

	}

}
  • makeroot(x):并无影响。虽然树的形态翻转了，但是翻转的只是实链。
  • findroot(x):显然无影响（跳左儿子又没改变树的形态）
  • split(x,y):显然无影响（除了调用三个函数外什么都没干）
  • link(x,y):这就有影响了。y多了一个轻边指向儿子x，那么s[y]，si[y]都加上s[x]。注意，多了一个子树，那么y在LCT中的祖先的s也都要加上s[x]的值，却没有得到更新。我们在加上s[x]前，需要额外地把y转到根（access(y)+splay(y)），y就没有祖先了，再加，就不会影响信息的正确性了。

    与原模板略有不同的代码
//保证连边合法

inline void link(int x,int y){

	split(x,y);//这里不是提取x-y的路径的意思，是makeroot+access+splay的偷懒写法

	si[f[x]=y]+=s[x];

	pushup(y);

}

//不保证

inline bool link(int x,int y){

	makeroot(x);

	if(findroot(y)==x)return 0;//access+splay已完成

	si[f[x]=y]+=s[x];

	pushup(y);

	return 1;

}
  • cut(x,y):无影响，断掉的是一条重边，pushup(y)更新s[y]就好啦。

分析到此完毕。其实好像也就只改了一点点地方。。。。。。不过思路是很巧妙的，值得用心体会。

补充一句，如果要维护子树里的最值，一个套路是在每个节点开一个平衡树维护该节点所有虚子树的最值，以便进行查询和更改。

例题一

洛谷P4219 [BJOI2014]大融合（点击进入题目）

当学会了LCT维护子树信息和以后，这题就变得有些裸了。。。。。。

蒟蒻题解在这里

例题二

洛谷U19464 山村游历(Wander)（点击进入题目）

注：此题为WC模拟赛试题，版权归出题人Philipsweng所有。小蒟蒻觉得这题出得很不错，于是上传至洛谷个人题库，作为例题与大家分享。数据自测，如有问题欢迎反馈。

题目简述：

没有。。。。。。这是一个阅读题，简述的话就等于告诉你怎么做了

仔细读一下题目吧，这道题水平挺高的。

思路分析：

也有点复杂

然而分析完了以后，又变成裸的了。。。。。。

算了，还是单独建一篇随笔吧。

蒟蒻题解在这里

维护树上染色联通块

维护方法要视具体情况分析

可能可以开一个LCT然后把同色的点连起来，这样做思路很简单，但实现起来受局限

也可能有多少颜色就开多少个LCT，然后在对应颜色的LCT中连上

升级操作：修改点的颜色

需要转化模型，可参考下面例题2

再次升级操作：修改链为同一种颜色

Link-Cut-Memphis（雾

看一下发明者Memphis巨佬的博客吧

以上两种操作都是在ZJOI2018交流课上听到的Orz

例题一

洛谷P3703 [SDOI2017]树点涂色（点击进入题目）

维护连通块并不麻烦，只是思维难度超大。。。。。。

不会树剖，焉知非福？

蒟蒻的题解

例题二

洛谷SP16549 QTREE6 - Query on a tree VI（点击进入题目）

一直都把边化为子节点，这次来把点化为父边（雾

蒟蒻的题解

特殊题型

有一类题目是真的毒瘤，怪异到都几乎认不出它的真面目

似乎并不能把它们归为任何一类LCT题型或者任何一种套路

只好仔细分析题目，发现题目本身的特殊性，再转化为LCT模型解决

然而我什么都分析不出来啊QwQ

例题一

洛谷P3613 睡觉困难综合征

把起床困难综合症——一个按位贪心的题目，完美地套在了LCT中

蒟蒻题解

例题二

洛谷P3348 [ZJOI2016]大森林

新技能get：虚点

离线的转移思路也极为巧妙

蒟蒻题解

例题三

洛谷P4338 [ZJOI2018]历史

ZJOI唯一可做题TAT

不来一些大力结论，根本做不下去。。。。。。

蒟蒻题解

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