何为最短路径

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径，大致可以分为如下几种问题，可无论如何分类问题，其本质思想还是不变的，即，求两点间的最短距离。

a) 确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题。

b) 确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

c) 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

d) 全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。

迪杰斯特拉算法介绍

如上图，迪杰斯特拉算法的核心思路是：

1) 指定一个节点，例如我们要计算 'A' 到其他节点的最短路径

2) 引入两个集合（S、U），S集合包含已求出的最短路径的点（以及相应的最短长度），U集合包含未求出最短路径的点（以及A到该点的路径，注意 如上图所示，A->C由于没有直接相连 初始时为∞）

3) 初始化两个集合，S集合初始时 只有当前要计算的节点，A->A = 0，

4) U集合初始时为 A->B = 4, A->C = ∞, A->D = 2, A->E = ∞

5) 从U集合中找出路径最短的点，加入S集合，例如 A->D = 2

6) 更新U集合路径，if ( 'D 到 B,C,E 的距离' + 'AD 距离' < 'A 到 B,C,E 的距离' ) 则更新U

7) 循环执行 4、5 两步骤，直至遍历结束，得到A 到其他节点的最短路径

 

样例代码

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <string>
using namespace std;
  
#define INFINITY 65535//无边时的权值
#define MAX_VERTEX_NUM 10//最大顶点数
  
typedef struct MGraph {
    string vexs[10];//顶点信息
    int arcs[10][10];//邻接矩阵
    int vexnum, arcnum;//顶点数和边数
} MGraph;
  
int LocateVex(MGraph G, string u) { //返回顶点u在图中的位置
    for(int i=0; i<G.vexnum; i++)
        if(G.vexs[i]==u)
            return i;
    return -1;
}
  
void CreateDN(MGraph &G) { //构造有向网
    string v1, v2;
    int w;
    int i, j, k;
    cout<<"请输入顶点数和边数：";
    cin>>G.vexnum>>G.arcnum;
  
    cout<<"请输入顶点：";
    for(i=0; i<G.vexnum; i++)
        cin>>G.vexs[i];
  
    for(i=0; i<G.vexnum; i++)
        for(j=0; j<G.vexnum; j++)
            G.arcs[i][j]=INFINITY;
  
    cout<<"请输入边和权值："<<endl;
    for(k=0; k<G.arcnum; k++) {
        cin>>v1>>v2>>w;
        i=LocateVex(G, v1);
        j=LocateVex(G, v2);
        G.arcs[i][j]=w;
    }
}
  
//迪杰斯特拉算法求有向网G的v0顶点到其余顶点v的最短路径p[v]及带权长度D[v]
//p[][]=-1表示没有路径，p[v][i]存的是从v0到v当前求得的最短路径经过的第i+1个顶点(这是打印最短路径的关键)，则v0到v的最短路径即为p[v][0]到p[v][j]直到p[v][j]=-1,路径打印完毕。
//final[v]为true当且仅当v∈S,即已经求得从v0到v的最短路径。
void ShortestPath_DIJ(MGraph G, int v0, int p[][MAX_VERTEX_NUM], int D[]) {
    int v, w, i, j, min;
    bool final[10];
  
    for(v=0; v<G.vexnum; v++) {
        final[v]=false;//设初值
        D[v]=G.arcs[v0][v];//D[]存放v0到v得最短距离，初值为v0到v的直接距离
        for(w=0; w<G.vexnum; w++)
            p[v][w]=-1;//设p[][]初值为-1，即没有路径
        if(D[v]<INFINITY) { //v0到v有直接路径
            p[v][0]=v0;//v0到v最短路径经过的第一个顶点
            p[v][1]=v;//v0到v最短路径经过的第二个顶点
        }
    }
  
    D[v0]=0;//v0到v0距离为0
    final[v0]=true;//v0顶点并入S集
  
    for(i=1; i<G.vexnum; i++) { //其余G.vexnum-1个顶点
        //开始主循环，每次求得v0到某个顶点v的最短路径，并将v并入S集，然后更新p和D
        min=INFINITY;
        for(w=0; w<G.vexnum; w++)//对所有顶点检查
            if(!final[w] && D[w]<min) { //在S集之外(即final[]=false)的顶点中找离v0最近的顶点，将其赋给v,距离赋给min
                v=w;
                min=D[w];
            }
        final[v]=true;//v并入S集
        for(w=0; w<G.vexnum; w++) { //根据新并入的顶点，更新不在S集的顶点到v0的距离和路径数组
            if(!final[w] && min<INFINITY && G.arcs[v][w]<INFINITY && (min+G.arcs[v][w]<D[w])) {
                //w不属于S集且v0->v->w的距离<目前v0->w的距离
                D[w]=min+G.arcs[v][w];//更新D[w]
                for(j=0; j<G.vexnum; j++) { //修改p[w]，v0到w经过的顶点包括v0到v经过的所有顶点再加上顶点w
                    p[w][j]=p[v][j];
                    if(p[w][j]==-1) { //在p[w][]第一个等于-1的地方加上顶点w
                        p[w][j]=w;
                        break;
                    }
                }
  
            }
        }
    }
}
  
int main() {
    int i, j;
    MGraph g;
    CreateDN(g);
    int p[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];//最短路径数组p
    int D[MAX_VERTEX_NUM];//最短距离数组D
    ShortestPath_DIJ(g, 0, p, D);
  
    cout<<"最短路径数组p[i][j]如下："<<endl;
    for(i=0; i<g.vexnum; i++) {
        for(j=0; j<g.vexnum; j++)
            cout<<setw(3)<<p[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
  
    cout<<g.vexs[0]<<"到各顶点的最短路径及长度为："<<endl;
    for(i=0; i<g.vexnum; i++) {
        if(i!=0 && D[i]!=INFINITY) {
            cout<<g.vexs[0]<<"-"<<g.vexs[i]<<"的最短路径长度为:"<<D[i];
            cout<<"  最短路径为：";
            for(j=0; j<g.vexnum; j++) {
                if(p[i][j]>-1)
                    cout<<g.vexs[p[i][j]]<<" ";
            }
            cout<<endl;
        } else if(D[i]==INFINITY)
            cout<<g.vexs[0]<<"-"<<g.vexs[i]<<":"<<"不可达"<<endl;
    }
    return 0;
}

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