题目

题目链接：https://codeforces.com/contest/1528/problem/D
一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图，第 \(i\) 条边为 \((u_i,v_i,d_i)\)。每一秒所有边到达的点的编号都会加一，也就是第 \(c\) 秒时，第 \(i\) 条边会变为 \((u_i,(v_i+c)\bmod n,d_i)\)。
求全源最短路。注意可以在任意点停留任意时间。
\(n\leq 600;m\leq n^2\)，保证每一个点都有出边。

思路

显然难点就在于可以在可以停留，否则直接跑 dijkstra 即可。
考虑在原图中增加 \(n\) 条边，其中第 \(i\) 条为 \((i,(i+1)\bmod n,1)\)，这样有一个非常妙的地方：假设我们要在 \(u\) 等 \(c\) 秒，然后去到 \(v\)，那么等价于这一个时刻直接从 \(u\) 去到 \(v-c\)，然后不断走新的边 \(c\) 次到达 \(u\)。
除了第一步不能走新建的边之外，其他时刻都可以任意走，因为走一次新建的边等价于在上一次走原图的时刻多等一秒。
那么直接枚举所有源点，然后新建一个点 \(S\) 把这一个点除了新加的路径以外所有路径 copy 过去，然后正常跑 dijkstra 即可。
时间复杂度 \(O(n^3)\)。注意因为边数是 \(O(n^2)\) 的，所以不要采用堆优化 dijkstra。否则将会退化成 \(O(nm\log n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=610,M=400010;
int n,m,tot,tot1,head[N];
bool vis[N];
ll dis[N];

struct edge
{
	int next,to,dis;
}e[M];

void add(int from,int to,int dis)
{
	e[++tot]=(edge){head[from],to,dis};
	head[from]=tot;
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1,x,y,z;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add(x+1,y+1,z);
	}
	tot1=tot;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
		head[n+1]=-1; dis[n+1]=0; tot=tot1;
		for (int j=head[i];~j;j=e[j].next)
			add(n+1,e[j].to,e[j].dis);
		for (int j=1;j<=n;j++)
		{
			int k=0;
			for (int l=1;l<=n+1;l++)
				if (!vis[l] && (!k || dis[l]<dis[k])) k=l;
			vis[k]=1;
			for (int l=head[k];~l;l=e[l].next)
			{
				int v=(e[l].to+dis[k]-1)%n+1;
				dis[v]=min(dis[v],dis[k]+e[l].dis);
			}
			if (k<=n) dis[k%n+1]=min(dis[k%n+1],dis[k]+1);
		}
		dis[i]=0;
		for (int j=1;j<=n;j++) cout<<dis[j]<<' ';
		printf("\n");
	}
	return 0;
}