斜率优化小结

博主是个智障，总是忘记斜率优化的过程。为了方便以后考前临时抱佛脚，写个博客。

斜率优化维护下面的问题：

\(f_i=min_{j<i}\{f_j+(a_i-b_j)^2\}\)

其中\(min\)或\(max\)，和\(+\)或\(-\)。\(a_i,b_j\)均只取决于\(i,j\)。

首先不看取\(min\)。我们钦定它的决策点是\(j\)，有：

\(f_i=f_j+a_i^2+b_j^2-2a_ib_j\) 其中符号什么的视情况而定。

（实际上未必是最上式，可以整理成上式的也都可以做斜率优化，甚至未必系数为2）

移项得：\(2a_ib_j+f_i-a_i^2=f_j+b_j^2\)

我们把\(b_j\)设为\(x\)，\(f_j+b_j^2\)设置为\(y\)。这样每个决策点\(j\)可以看成点\((b_j,f_j+b_j^2)\)。

转移我们看作拿一个斜率是\(a_i\)的直线，去切一群点，考虑最小化\(f_i\)，所以要求截距最小。

又斜率都是正的，所以考虑拿这个切出来的点应该是下凸包。

维护凸包根据各种要求，有平衡树，cdq分治，普通单调队列等。