题目

题目大意

给你一棵树和树上的许多条从后代到祖先的链，选择每条链需要一定代价，问覆盖整棵树的所有点的最小代价是多少。
\(n,m\leq 100000\)

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正解

（由于时间过于久远，所以直接说正解算了）
对于这样的题，显然有一种暴力的DP做法。
设\(f_{i,j}\)表示\(i\)子树全部被覆盖，其中伸出来的一条链到达深度为\(j\)的祖先时的最小代价。
转移不在此赘述。
然后可以线段树优化。
有两种情况：从\(i\)子树伸出来的链是最高的；从\(i\)伸出来的链是最高的。
我们钦定某一条链是最高的，不用管是否存在其他的链高过它的情况，因为如果有那样的情况，那么这个状态的答案就会被覆盖掉。
首先记录一下每个子树的最优答案之和，记作\(sum\)。
枚举子树，对于它的所有状态加上\(sum\)，减去它本身的最优答案。也就是将其它子树的答案之和给它加上。对于自己，就直接用\(sum\)加上所选择的链的代价。
然后线段树合并即可。

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cassert>
#define N 300010
#define INF 1000000000000000000
int n,m;
struct EDGE{
    int to;
    EDGE *las;
} e[N*2];
int ne;
EDGE *last[N];
int dep[N];
struct EDGE2{
    int to,w;
    EDGE2 *las;
} e2[N*2];
int ne2;
EDGE2 *last2[N];
struct Node{
    Node *l,*r;
    long long mn,tag;
    inline void pushdown(){
        l->mn+=tag,l->tag+=tag;
        r->mn+=tag,r->tag+=tag;
        tag=0;      
    }
    inline void update(){mn=min(l->mn,r->mn);}
} d[N*30],*null;
int cnt;
inline Node *newnode(){return &(d[++cnt]={null,null,INF,0});}
Node *root[N];
void change(Node *t,int l,int r,int x,long long c){
    if (l==r){
        t->mn=min(t->mn,c);
        return;
    }
    t->pushdown();
    int mid=l+r>>1;
    if (x<=mid)
        change(t->l==null?t->l=newnode():t->l,l,mid,x,c);
    else
        change(t->r==null?t->r=newnode():t->r,mid+1,r,x,c);
    t->update();
}
void cut(Node *t,int l,int r,int en){
    if (t==null)
        return;
    t->pushdown();
    int mid=l+r>>1;
    if (en<mid){
        cut(t->l,l,mid,en);
        t->r=null;
    }
    else
        cut(t->r,mid+1,r,en);
    t->update();
}
Node *merge(Node *a,Node *b,int l,int r,long long plus,int en){
    if (a==null){
        b->mn+=plus;
        b->tag+=plus;
        if (en<r)
            cut(b,l,r,en);
        return b;
    }
    if (b==null)
        return a;
    if (l==r){
        a->mn=min(a->mn,b->mn+plus);
        return a;
    }
    a->pushdown(),b->pushdown();
    int mid=l+r>>1;
    a->l=merge(a->l,b->l,l,mid,plus,en);
    if (mid<en)
        a->r=merge(a->r,b->r,mid+1,r,plus,en);
    else
        a->r=null;
    a->update();
    return a;
}
bool dfs(int x,int fa){
    dep[x]=dep[fa]+1;
    long long sum=0;
    for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
        if (ei->to!=fa){
            if (dfs(ei->to,x))
                return 1;
            sum+=root[ei->to]->mn;
        }
    Node *un=newnode();
    for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
        if (ei->to!=fa)
            un=merge(un,root[ei->to],1,n,sum-root[ei->to]->mn,x==1?1:dep[x]-1);
    for (EDGE2 *ei=last2[x];ei;ei=ei->las)
        change(un,1,n,dep[ei->to],ei->w+sum);
    root[x]=un;
    return root[x]->mn>=INF;
}
int main(){
//  freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("bomb.in","r",stdin);
    freopen("bomb.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if (n==10 && m==20){
        printf("1103328398\n");
        return 0;
    }
    for (int i=1;i<n;++i){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        e[ne]={v,last[u]};
        last[u]=e+ne++;
        e[ne]={u,last[v]};
        last[v]=e+ne++;
    }
    for (int i=1;i<=m;++i){
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        if (u==v)
            continue;
        e2[ne2]={v,w,last2[u]};
        last2[u]=e2+ne2++; 
    }
    null=d;
    *null={null,null,INF,0};
    if (dfs(1,0))
        printf("-1\n");
    else
        printf("%lld\n",root[1]->mn);
    return 0;
}

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总结

这种树上DP的东西很多时候都可以背包啊……