先看第25题：

从试卷上留下的草稿以及如下答题纸上的解答来看，孩子对这题的理解和解答都没有问题：

现在来看第27题：

27. 我们规定：若关于 x 的一元一次方程 ax = b 的解为 b + a，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程 2x = -4 的解为 x = -2，而 -2 = -4 + 2，则方程 2x = -4 为“和解方程”．

请根据上述规定解答下列问题：

（1）已知关于 x 的一元一次方程 3x = m 是“和解方程”，求 m 的值；

（2）已知关于 x 的一元一次方程 -2x = mn + n 是“和解方程”，并且它的解是 x = n，求 m，n 的值．

孩子的草稿和答题纸内容分别如下：

 由此可以推断，孩子在题意理解上存在问题：

我们规定：若关于 x 的一元一次方程 ax = b 的解为 b + a，则称该方程为“和解方程”． 

按说，这句话并不难理解，就是同时满足条件1（关于 x 的一元一次方程 ax = b）和条件2（ax = b的解为 x = b + a）的方程被叫做“和解方程”。由条件1知道 a 不为0，综合起来，一个等价的表述是：当 b / a = b + a 时，ax = b 被称作关于 x 的“和解方程”。

前面那个题也是“我们规定”句式，定义了有关两个量的运算表达式（expression），而且还按条件不同定义了两个不同的表达式。这里的情形看似更加简单，却出现了理解上的问题。大致猜测孩子的理解可能是这样：

我们规定：关于 x 的一种方程 ax = b 称作“和解方程”，该方程的解为 b + a．

就是说，只要说 ax = b 是“和解方程”，那么其解就是 x = b + a，因为就是这样规定的。这样一来就把 ax = b 本身是一个方程（equation，等式）的信息给丢掉了。顺着这个思路分析孩子是怎么做第一小问的：

3x = m 是“和解方程”，那么就有 x = m + 3，现在让求出 m 的值，孩子在这种思路下一筹莫展，勉为其难做了个于事无补的加法交换（3 +m = m + 3），最后只好由 x = m + 3 得出 m = 3 - x 敷衍了事。

原题里在“我们规定”的叙述后，还给出了举例：

例如：方程 2x = -4 的解为 x = -2，而 -2 = -4 + 2，则方程 2x = -4 为“和解方程”．

但这个例子并没有把孩子从错误的混沌的思路里拉回来。和孩子交流这个题时，我首先问的问题是：

这个例子里说方程 2x = -4 的解为 x = -2，你能告诉我为什么吗？

孩子马上回答说：是因为 -4 + 2 = -2。

果然不出所料。

接下来要分析的是：既然理解上有问题，思路跑偏了，何以第二小问又能做对呢？

如前图所示，试卷兼稿纸上孩子写了如下三行：

-2x = mx + x

-mx = 3x

m = -3

第二小问复述如下：

（2）已知关于 x 的一元一次方程 -2x = mn + n 是“和解方程”，并且它的解是 x = n，求 m，n 的值．

从这里看，孩子的思路似乎又拉回到正轨了，知道把 x = n 代入原方程，只是用了一个不合常理的做法：把原方程中的 n 替换成 x。

最后消去 x 得到 m = -3 是不严谨的，因为此时还不能排除 x = 0 的情况。

再看答题纸，是这样写的：

-2x = mx + x                            -2x = 2 + x

x = -2 + mx + x                        -2 = 3x

2 + x = mx + x                          x = -2/3       n = x = -2/3

2 = mx                                      2 = m × (-2/3)

                                                 m = -3

具体分析如下：

1、第一行第一列：-2x = mx + x，就是稿纸上的第一行，但是稿纸上的第二行（-mx = 3x）却没有出现！

2、第二行第一列：x = -2 + mx + x，这个等式并不是由 -2x = mx + x 推出来的，它实际上是由“和解方程”的定义和 x = n 得来的，即

x = -2 + mn + n = -2 + mx + x

3、随后推出 2 + x = mx + x 和 2 = mx 的过程中规中矩

4、第一行第二列：-2x = 2 + x，这是把 mx = 2 代入一开始写出来就晾在一边的 -2x = mx + x 里得来的，这代数运用能力出乎意料了！

5、随后解出 x = -2/3，便得到 n = -2/3，再由 2 = mx 求出 m = -3.

 通过上述分析可以看到孩子解题过程暴露出来的一些问题，也有其闪光的一面，以下就暴露出的问题做一个总结：

1、第27题题意理解上的问题，可能是受了第25题那种题型的干扰，我们定义一种新的运算表达式，其实质的含义是一种记法，表达一种展开关系，比如 a ☆ b = a + 2b，其中的等号表达的是把 a + 2b 记作 a ☆ b，或者说 a ☆ b 可以展开为  a + 2b 这个常规的表达式，这个表达式实际就是初一数学教材里定义的多项式。而第27题里的 ax = b，其中的等号表达的是等号两端的两个表达式的值满足相等关系。概言之，前者是用一个表达式定义一种运算；后者是关于两个表达式的等式。孩子还没有清晰认识到这一点。

2、第27题的第二小问是求 m 和 n 两个未知数的值，其实质是二元方程组求解，应用代入法是常规做法之一，但是从实际解题过程看，孩子对 x = n的代入应用是反常规的，虽然也能正确求解，但难免给人一种误打误撞的感觉。

最后附上第27题的常规解法：

(1) 方法一：

对 3x = m 直接求解，有 x = m/3

由题设，又有 x = m + 3

于是 m/3 = m + 3

求解得到 m = -9/2.

方法二：

由题设，有 x = m + 3

代入 3x = m，有 3(m + 3) = m

求解得到 m = -9/2.

(2)  由题设，有以下三个等式：

-2x = mn + n

x = mn + n - 2

x = n

把 x = n 代入前两个等式，化简后得到：

-3n = mn

2 = mn

于是有

-3n = 2

求解，得 n = -2/3

代入 2 = mn，求得 m = -3.