今天看了Corotational模型的代码。

在Vega中，获得模型内力的方法是先构造一个ForceModel对象，再调用其对应方法。

对于Corotational模型，构造的流程为:

构造CorotationalLinearFEM  -> 构造CorotationalLinearFEMForceModel

获取内力时，调用顺序为:

CorotationalLinearFEMForceModel::GetInternalForce ->

CorotationalLinearFEM::ComputeForceAndStiffnessMatrix ->

CorotationalLinearFEM::ComputeForceAndStiffnessMatrixOfSubmesh

其中ComputeForceAndStiffnessMatrixOfSubmesh 计算指定的体网格元素范围（给出下标上下限）的内力。

其中包含以下几种计算的方法:1. 线性（wrap=0）2. 把旋转矩阵抵消后的线性模型(wrap = 1) 3. 准确模型（wrap = 2）

以下是源代码注释:

// computes the internal forces and (warped) stiffness matrix for the entire mesh

  // vertex displacements (input) and internal forces (output) must be (pre-allocated) vectors of length 3 * numVertices

  // the internal forces are returned with the sign corresponding to f_int(x) on the left side of the equation M * x'' + f_int(x) = f_ext

  // i.e., the computed internal forces are *negatives* of the actual physical internal forces acting on the material

  // warp:

  //   0: no warping (linear FEM)

  //   1: stiffness warping (corotational linear FEM with approximate stiffness matrix) [Mueller 2004]

  //   2: corotational linear FEM with exact tangent stiffness matrix (see the technical report [Barbic 2012])

说明计算的内力是实际的负值。

先说明后两种的计算方法。

1.得到变形后的点P、 变形前的点M

2.F = P M^-1 得到变形梯度F

3.对F做极分解， F = RS， F正交， S对称正定

4.KElement = R * K * R^TKElement = R * K * R^T 其中K为线性模型的单元刚度矩阵

5.f = R * K  * （R^T x - x0）得到每个元素的f

6.若wrap=2 计算tangent stiffness matrix，十分复杂，暂时忽略。

对于线性模型，方法很简单，就是用单元刚度矩阵乘以位移。

下一步证明，wrap=1/2的方法与 Siggraph12的course note  FEM Simulation of 3D Deformable Solids给出的构造是等效的。这篇course先说明各个本构模型的能量，再推出每个本构模型力的表示法。

对于线性模型，弹性能量 E = 1/2 * d^T * K * d， K为刚度矩阵，d为每个顶点的位移向量，这一点可以通过把小变形应变张量代入线性模型的能量密度，再离散化得出。整个过程也是刚度矩阵的推导过程。

对于Corotate模型，弹性能量E = 1/2 * d‘^T * K * d’，K仍为刚度矩阵，但d‘为顶点位移抵消了旋转（乘以R^T）后的差值。这一点可以严格证明。证明的方法与刚度矩阵的推导方法类似，是根据F = RS = d(X +u ) / dX, 以及对corotate模型 ε  = S - I  ，推出 ε 与 du / dX 的表达式，推出 E = 1/2 * d‘^T * K * d’ 。

由此可见，Corotate模型就是把变形映射回旋转前的状态后的线性模型。