离散数学知识点总结(10)-代数系统与群论

一、代数结构

函数f : A×A→A称作A上的一个二元运算,通常写作〇(a,b)或a〇b。

此时运算表中的每个元素都属于A,称A对f封闭。例如Z+对除法运算不封闭(除法不是正整数集合上的二元运算)。

函数f : A→A称作A上的一个一元运算,通常写作f(a)或fa。

f1~fk是A上的k个运算,则(A, f1 , f2 , ... , fk)是一个代数结构/代数系统

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 二、群论

半群(S, ·):集合S非空、运算·对集合S封闭、运算·可结合

  若集合S有限,则一定存在a∈S使得a·a=a

  证明:???(我不会)

可交换半群:半群(S, ·)中的运算·满足交换性

亚群、含幺半群、单元半群、独异点:含有单位元的半群

群(G,·):运算·封闭、运算·可结合、集合G中存在单位元、集合G中任意元素都存在逆元(存在则必唯一)

可换群/阿贝尔群/Abel群:运算·在G上是可交换的群

有限群(G中元素个数称为有限群的阶数|G|)和无限群

平凡群:只包含单一元素e的群,其群运算只有e·e=e,它也是Abel群

群方程

若代数系统(G , *)为半群,且G中方程ax=b有唯一解、xa=b有唯一解,则(G , *)为群 

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同态与同构  

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群的一些重要性质 

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例题:设(G , *)为群,试证明若|G|=n,则G中阶>2的元素为偶数个

证明:|a|>2时,必然有a≠a-1,否则a2=e,|a|≤2

     故G中阶>2的元素a和a-1成对出现,其个数必然为偶数

循环群 

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置换与置换群 

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子群

假设(G , ·)是一个群,H⊆G(H是G的一个子集)

如果H在G中的运算下也构成一个群,则称(H , ·)是(G , ·)的一个子群,记作H≤G 

H和K都是G的子群时,H∩K还是G的子群;H∪K是G的子群当且仅当H⊆K或K⊆H

({e} , ·)和(G , ·)是G的平凡子群;其它子群则是非平凡子群 

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陪集与拉格朗日定理

设(H , ·)是(G , ·)的一个子群,g∈G

由g确定的H在G中的左陪集(H关于g的左陪集)为gH={g·h | h∈H}

由g确定的H在G中的右陪集(H关于g的右陪集)为Hg={h·g | h∈H}

左陪集元素个数|gH|=右陪集元素个数|Hg|=|H|(h1≠h2时,gh1≠gh2,因此gH和Hg中各元素互异)

左陪集gH和右陪集Hg中,必然都包含了代表元g本身

 

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正规子群与商群 

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