最近在看关于知识图谱融合的最新文献过程中，发现在实现embedding的时候采用最多、效果极佳的方法就是利用维基的词向量作为GCN的输入，从而得到包含语义和空间结构的embedding。所以这两天找了些关于GCN的资料看，并做个简单记录，方便以后复习，若发现错误或不太准确的地方，恳请指正。
一、宏观理解GCN是什么？——特征提取器
在CNN、RNN如此强大的模型之后，为什么出现GCN？
CNN：针对图像（二维数据结构），它的核心在于其kernel，一个滑动窗口，通过卷积来提取特征。因为图像具有平移不变性：滑动窗口无论移动到图片的哪一个位置，其内部的结构都是一模一样的，因此CNN可以实现参数共享。这就是CNN的精髓所在。
RNN：针对自然语言（序列信息，一维结构），通过各种门的操作，使得序列前后的信息互相影响，从而很好地捕捉序列的特征。
上面讲的图片或者语言，都属于欧式空间的数据，因此才有维度的概念，欧式空间的数据的特点就是结构很规则。但是现实生活中，其实有很多很多不规则的数据结构，典型的就是图结构，或称拓扑结构，如社交网络、化学分子结构、知识图谱等等；即使是语言，实际上其内部也是复杂的树形结构，也是一种图结构；而像图片，在做目标识别的时候，我们关注的实际上只是二维图片上的部分关键点，这些点组成的也是一个图的结构。【引用：https://zhuanlan.zhihu.com/p/71200936】
由此，针对图这种十分不规则、无限维，不具备平移不变性的的结构，CNN和RNN就无法发挥作用，很多学者从上个世纪就开始研究怎么处理这类数据了。这里涌现出了很多方法，例如GNN、DeepWalk、node2vec等等，GCN只是其中一种，这里只讲GCN。
现在就不难理解，GCN实际上可以看作一个特征提取器（类似于CNN的作用），不同的是它的处理对象为图结构数据。利用GCN提取出的特征，我们可以实现节点分类（node classification）、图分类（graph classification）、边预测（link prediction），还可以得到图的嵌入表示（graph embedding）。
二、对GCN思想的理解
我看很多资料都从谱域讲到空域，一路下来描述了很多，就我个人而言没看懂。不求完全掌握每一个理论知识，只是想理解整个思想的我，果断放弃钻研。
现在我们来看看GCN核心部分的内容：
它是一个神经网络层，且仅仅是一个全连接层。（下图是一个2层的GCN例子）
假设有一组图数据，包含N个节点（node），每个节点有自己的特征信息，我们设这些节点的特征组成一个N×D维的矩阵X，然后各个节点之间的关系也会形成一个N×N维的矩阵A，即，邻接矩阵（adjacency matrix）。那么X和A便是我们模型的输入。
该网络的传播方式为：
其中，
（1）A波浪=A+I，I是单位矩阵；
（2）D波浪是A波浪的度矩阵（degree matrix）；
（3）H是每一层的特征，对于输入层的话，H0就是X；
（4）σ是非线性激活函数。
至于为什么要这样去设计一个公式，先不考虑。现在只需要知道这个部分是可以事先计算得到的，因为D波浪由A计算得来，而A是输入之一。对于不需要去了解数学原理、只想应用GCN来解决实际问题的人来说，就只需知道：这个GCN设计了一个强大的公式，用这个公式就可以很好地提取图的特征，就够了。
进一步理解。引用一张图：
上图中的GCN输入一个图，通过若干层GCN每个node的特征从X变成了Z，但是，无论中间有多少层，node之间的连接关系，即A，都是共享的。也就是说解决了上面说的不具备平移不变性问题。其思路是：借鉴CNN，将卷积分为三步：
（1）选定中心节点后，确定邻域：对每个节点选择固定个数的节点作为邻居；
（2）给邻域结点编号；
（3）参数共享：选择固定大小的窗口进行参数共享。
三、GCN公式为什么这样设计
参考论文作者，由简入繁：
每一层GCN的输入都是邻接矩阵A和node的特征H，那么我们考虑直接做一个内积，再乘一个参数矩阵W，然后激活一下，就相当于一个简单基础的神经网络层嘛。如下：
实验证明，即使就这么简单的神经网络层，就已经很强大。
上面这个简单的模型存在几个局限：
（1）由于A的对角线上都是0，所以在和特征矩阵H相乘的时候，只会计算一个node的所有邻居的特征的加权和，该node自己的特征却被忽略了。因此，做了一个小小的改动，给A加上一个单位矩阵I，这样就让对角线元素变成1了。
（2）A是没有经过归一化的矩阵，这样与特征矩阵相乘会改变特征原本的分布，产生一些不可预测的问题。所以我们对A做一个标准化处理。首先让A的每一行加起来为1，我们可以乘以一个 ，D就是度矩阵。考虑每一列做到归一化，所以我们可以进一步把
拆开与A相乘，得到一个对称且归一化的矩阵
。此设计与对称归一化拉普拉斯矩阵十分类似，而在谱图卷积的核心就是使用对称归一化拉普拉斯矩阵，这也是GCN的卷积叫法的来历。（具体的我也不懂，只知道是这样，从而说明了谱域的图卷积是空域图卷积的子集。）
通过对上面两个局限的改进，我们便得到了最终的层特征传播公式：
四、从数学角度简单模拟
下面用一个例子记录GCN强大公式是如何起作用的。
【引用：https://baijiahao.baidu.com/s?id=1678519457206249337&wfr=spider&for=pc】
直接将矩阵A与矩阵X相乘，得到的矩阵第一行就是与A相连接的E节点的特征向量（如下图）。同理，得到的矩阵的第二行是D和E的特征向量之和，通过这个方法，我们可以得到所有邻居节点的向量之和。
此时的计算还存在上述章节三中提到的局限（1）忽略了节点本身的特征。按理得到的矩阵第一行应该包含结点A和E的信息，所以做出改进：
通过给每个节点增加一个自循环，我们得到新的邻接矩阵。
对于局限（2）矩阵缩放，实现归一化。
在矩阵缩放中，通常考虑乘上一个对角矩阵，正好度矩阵D为对角矩阵，一定存在这某种关联，所以有了如下的改进：
因此，通过D取反和X的乘法，我们可以取所有邻居节点的特征向量（包括自身节点）的平均值。
按照上图左乘一个D波浪逆矩阵，我们只是按行缩放(即，行归一化)，而忽略了对应的列（虚线框）。【缩放方法给我们提供了 "加权 "的平均值。我们在这里做的是给低度的节点加更多的权重，以减少高度节点的影响。这个加权平均的想法是，我们假设低度节点会对邻居节点产生更大的影响，而高度节点则会产生较低的影响，因为它们的影响力分散在太多的邻居节点上。】
所以，进行了两次归一化处理，左乘和右乘了D波浪的-1/2逆。
至此，强大的GCN公式诞生。
五、其他关于GCN的点滴
- 对于很多网络，我们可能没有节点的特征，这个时候可以使用GCN吗？答案是可以的，如论文中作者对那个俱乐部网络，采用的方法就是用单位矩阵 I 替换特征矩阵 X。
- 我没有任何的节点类别的标注，或者什么其他的标注信息，可以使用GCN吗？当然，就如前面讲的，不训练的GCN，也可以用来提取graph embedding，而且效果还不错。
- GCN网络的层数多少比较好？论文的作者做过GCN网络深度的对比研究，在他们的实验中发现，GCN层数不宜多，2-3层的效果就很好了。
- GCNs同时使用节点特征和结构进行训练。
- 该框架目前仅限于无向图（加权或不加权）。但是，可以通过将原始有向图表示为一个无向的两端图，并增加代表原始图中边的节点，来处理有向边和边特征。