Description

给定 n ( n ≤ 2 × 1 0 3 ) n(n\leq 2\times 10^3) n(n≤2×103)组正整数 a , b , c , d ( 1 ≤ a , b , c , d ≤ 2 × 1 0 9 ) a,b,c,d(1\leq a,b,c,d\leq 2\times 10^9) a,b,c,d(1≤a,b,c,d≤2×109)，对于每一组 a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d，请求出：
∑ i = 1 d [ g c d ( a , i ) = = b ∧ l c m ( c , i ) = = d ] \sum_{i=1}^{d}[gcd(a,i)==b\land lcm(c,i)==d] i=1∑d​[gcd(a,i)==b∧lcm(c,i)==d]

Solution

g c d gcd gcd与 l c m lcm lcm在算术基本定理下的表示:

设 A = ∏ i = 1 n p i a i , B = ∏ i = 1 n p i b i A=\prod_{i=1}^{n}p_i^{a_i},B=\prod_{i=1}^{n}p_i^{b_i} A=∏i=1n​piai​​,B=∏i=1n​pibi​​，其中 p i p_i pi​为 A A A或 B B B的质因子，则：​ g c d ( A , B ) = ∏ i = 1 n p i m i n ( a i , b i ) , l c m ( A , B ) = ∏ i = 1 n p i m a x ( a i , b i ) gcd(A,B)=\prod_{i=1}^{n}p_i^{min(a_i,b_i)},lcm(A,B)=\prod_{i=1}^{n}p_i^{max(a_i,b_i)} gcd(A,B)=i=1∏n​pimin(ai​,bi​)​,lcm(A,B)=i=1∏n​pimax(ai​,bi​)​

将 a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d均改写为算术基本定理下的表示，进而考虑所有可能的 i i i的算术基本定理表示形式，之后便可以根据相应的质因子次数推断是否有解或答案了。

Summary

1、 g c d gcd gcd与 l c m lcm lcm在算术基本定理下的表示不失为思考相关题的一个好角度；

2、算术基本定理分解目标数并借此转化条件是一个不错的套路。

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ri register int
using namespace std;

int T,a,b,c,d,check,ans;

void divide(int x)
{
	ri ai=0,bi=0,ci=0,di=0;
	while(a%x==0) { ++ai; a/=x; }
	while(b%x==0) { ++bi; b/=x; }
	while(c%x==0) { ++ci; c/=x; }
	while(d%x==0) { ++di; d/=x; }
	if(ai<bi||ci>di) { check=1; return; }
	if(ai==bi&&ci<di)
	{
		if(ai<=di) ans*=1;
		else ans*=1;
	}
	if(ai==bi&&ci==di)
	{
		if(ai<=ci)	ans*=(ci-ai+1);
		else	check=1;
	}
	if(ai>bi&&ci<di)
	{
		if(bi==di)	ans*=1;
		else	check=1;		
	}
	if(ai>bi&&ci==di)
	{
		if(bi<=ci)	ans*=1;
		else	check=1;		
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&T);
	for(ri opt=1;opt<=T;++opt)
	{
		ans=1; check=0;
		scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
		for(ri i=2;i*i<=d;++i)
			if(d%i==0)
			{
				divide(i);
				if(check)	break;
			}
		if(d>1)	divide(d);
		if(check) { cout<<"0"<<'\n'; continue; }
		cout<<ans<<'\n';
	}
	return 0;
}