矩阵的秩的不等式

\[R(A+B) \le R(A)+R(B) \]

\[R(AB) \le min(R(A), R(B)) \]

\[A_{z\times n} B_{n\times t} = O \rightarrow R(A)+R(B) \le n \]

\[R(A_{z\times n} B_{n\times t}) \ge R(A) + R(B) - n \]

\[M = \left \{ \begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix} \right \} \rightarrow R(M) \ge R(A) + R(B) \]

题目1

若 \(A\) 是可逆矩阵，证明 \(R(AB)=R(B)\)

题目1证明

\[R(AB) \le R(B) \\ R(B) = R(A^{-1}(AB)) \le R(AB) \\ \therefore R(AB) = R(B) \]

题目2

\(A\) 满足 \(A=A^2\)，证明：\(R(A)+R(I-A) = n\)

题目2证明

\[R(A) + R(I-A) \ge R(A+(I-A)) = R(I) = n \\ R(A(I-A)) = R(A-A^2) = 0 \rightarrow R(A) + R(I-A) \le n \\ \therefore R(A) + R(I-A）= n \]