设实数$\lambda >0$,若对任意的$x\in(e^2,+\infty)$,不等式$\lambda e^{\lambda x}-\ln x>0$恒成立,则$\lambda$的最小值为_____

提示:反函数,由题意$e^{\lambda x}\ge \dfrac{\ln x}{\lambda}$,注意到$y=e^{\lambda x}$与$y=\dfrac{\ln x}{\lambda}$ 是互为反函数.

求$y=x$与$y=e^{\lambda x}$的切点易得为$(e,e)$此时$\lambda=\dfrac{1}{e}$.由于$x\in (e^2,+\infty)$结合图像知$\lambda\ge\dfrac{2}{e^2}$
注:若条件改为$x>0$时恒成立,则$\lambda\ge \dfrac{1}{e}$.此时$e^{\lambda x}\ge e^{\dfrac{1}{e}x}\ge x$.
(这一步用到了常见不等式$e^x=e*e^{x-1}\ge ex$)
由反函数图像知道此时$e^{\lambda x}\ge x\ge\dfrac{\ln x}{\lambda}$成立.

 

 

练习:已知函数$f(x)=me^x-\ln\dfrac{x}{m}(m>0)$,若关于$x$的不等式$f(x)>0$恒成立,求$m$的取值范围_____
答案$\left(\dfrac{1}{e},+\infty\right)$