二阶矩过程和平稳过程
基本概念
- 主要讨论复随机过程与宽平稳过程。
- 二阶矩过程：对于 ∀ t ∈ T \forall t\in T ∀t∈T，均值和方差都存在。
- 严平稳过程：概率分布完全一样，不涉及数字特征，可能不是二阶矩过程。
- 宽平稳过程：均值函数是常数，自相关函数是时间差的函数。一定是二阶矩过程。
- 对于正态过程来说，严平稳就是宽平稳。
- 独立增量过程+均值为常数、存在二阶矩 ⇒ \Rightarrow ⇒正交增量过程
注意两者区别： E ( [ X ( t 2 ) − X ( t 1 ) ] [ X ( t 4 ) − X ( t 3 ) ] ) = E ( X ( t 2 ) − X ( t 1 ) ) E ( X ( t 4 ) − X ( t 3 ) ) E([X(t_2)-X(t_1)][X(t_4)-X(t_3)])=E(X(t_2)-X(t_1))E(X(t_4)-X(t_3)) E([X(t2)−X(t1)][X(t4)−X(t3)])=E(X(t2)−X(t1))E(X(t4)−X(t3))这是独立增量， E ( [ X ( t 2 ) − X ( t 1 ) ] [ X ( t 4 ) − X ( t 3 ) ] ‾ ) = 0 E([X(t_2)-X(t_1)]\overline{[X(t_4)-X(t_3)]})=0 E([X(t2)−X(t1)][X(t4)−X(t3)])=0是正交增量。
统计特性
- 二阶矩过程的自相关函数共轭对称，且采样后的自相关矩阵非负定。
- 注意 R X ( τ ) = E ( X ( t + τ ) X ( t ) ‾ ) R_X(\tau)=E(X(t+\tau)\overline{X(t)}) RX(τ)=E(X(t+τ)X(t))，共轭的位置。
随机分析
前提都是二阶矩过程。
均方连续
自相关函数 R X X ( s , t ) R_{XX}(s,t) RXX(s,t)在 ( t 0 , t 0 ) (t_0,t_0) (t0,t0)处连续 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ { X ( t ) } \{X(t)\} {X(t)}均方连续。
对于宽平稳过程：
{ X ( t ) } \{X(t)\} {X(t)}均方连续 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ { X ( t ) } \{X(t)\} {X(t)}在 t = 0 t=0 t=0处均方连续 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺自相关函数 R X X ( τ ) R_{XX}(\tau) RXX(τ)连续 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺自相关函数 R X X ( τ ) R_{XX}(\tau) RXX(τ)在 τ = 0 \tau=0 τ=0处连续。
均方导数
∂ 2 R X X ( s , t ) ∂ t ∂ s \frac{\partial^2R_{XX}(s,t)}{\partial t\partial s} ∂t∂s∂2RXX(s,t)在 ( t 0 , t 0 ) (t_0,t_0) (t0,t0)处存在且连续 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ { X ( t ) } \{X(t)\} {X(t)}均方可导。
性质
-
导数过程的自相关函数为原自相关函数的导数，即： R X ′ ( s , t ) = ∂ 2 R X X ( s , t ) ∂ t ∂ s R_{X'}(s,t)=\frac{\partial^2R_{XX}(s,t)}{\partial t\partial s} RX′(s,t)=∂t∂s∂2RXX(s,t)
-
导数过程的均值函数为原均值函数的导数，即： E ( X ′ ( t ) ) = d X ( t ) d t E(X'(t))=\frac{dX(t)}{dt} E(X′(t))=dtdX(t)
高阶导数
R X X ( s , t ) R_{XX}(s,t) RXX(s,t)有2n阶导数且在对角线 t = s t=s t=s上连续，则 X ( t ) X(t) X(t)具有均方意义下的n阶导数。
R X ( n ) ( t , s ) = ∂ 2 n ∂ t n ∂ s n R X X ( t , s ) R_{X^{(n)}}(t,s)=\frac{\partial^{2n}}{\partial t^n\partial s^n}R_{XX}(t,s) RX(n)(t,s)=∂tn∂sn∂2nRXX(t,s)
R X ( n ) X ( m ) ( t , s ) = ∂ ( n + m ) ∂ t n ∂ s m R X X ( t , s ) R_{X^{(n)}X^{(m)}}(t,s)=\frac{\partial^{(n+m)}}{\partial t^n\partial s^m}R_{XX}(t,s) RX(n)X(m)(t,s)=∂tn∂sm∂(n+m)RXX(t,s)
互相关也一样：
R X ( n ) Y ( m ) ( t , s ) = ∂ ( n + m ) ∂ t n ∂ s m R X Y ( t , s ) R_{X^{(n)}Y^{(m)}}(t,s)=\frac{\partial^{(n+m)}}{\partial t^n\partial s^m}R_{XY}(t,s) RX(n)Y(m)(t,s)=∂tn∂sm∂(n+m)RXY(t,s)
均方可积
均方连续 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺均方可积。
类似均方导数，积分号和均值也可以互换。
注意：
- 平稳过程自相关函数积分的时候是两重积分。
- 均方积分是可拆的，积分限可拆，积分内容也可以拆。
各态历经性
讨论根据试验记录（样本函数）确定平稳过程的均值和相关函数的理论依据和方法。其实就是看长时间观测的数据是否可以代表整个随机过程。
如果 X ( t ) X(t) X(t)是一均方连续平稳随机过程，且其均值和相关函数均具有各态历经性，则称该随机过程具有各态历经性，或者说 X ( t ) X(t) X(t)是各态历经的，或是遍历的。
通常对于实平稳随机过程，只要时间差趋于无穷大时自协方差为0，那么它的均值具有各态历经性。通常宽平稳随机过程（除了周期不长的周期信号）都满足这个条件。自相关函数的各态历经性也是一样。
例题
通常是求解导数过程的均值函数和相关函数。