主成分分析（Principal components analysis，以下简称PCA）是最重要的降维方法之一。在数据压缩消除冗余和数据噪音消除等领域都有广泛的应用。一般我们提到降维最容易想到的算法就是PCA，下面我们就对PCA的原理做一个总结。

1. PCA的思想

　　　　PCA顾名思义，就是找出数据里最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据。具体的，假如我们的数据集是n维的，共有m个数据(x(1),x(2),...,x(m))$(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)})$。我们希望将这m个数据的维度从n维降到n'维，希望这m个n'维的数据集尽可能的代表原始数据集。我们知道数据从n维降到n'维肯定会有损失，但是我们希望损失尽可能的小。那么如何让这n'维的数据尽可能表示原来的数据呢？

　　　　我们先看看最简单的情况，也就是n=2，n'=1,也就是将数据从二维降维到一维。数据如下图。我们希望找到某一个维度方向，它可以代表这两个维度的数据。图中列了两个向量方向，u1$u_1$和u2$u_2$，那么哪个向量可以更好的代表原始数据集呢？从直观上也可以看出，u1$u_1$比u2$u_2$好。

　　　　为什么u1$u_1$比u2$u_2$好呢？可以有两种解释，第一种解释是样本点到这个直线的距离足够近，第二种解释是样本点在这个直线上的投影能尽可能的分开。

　　　　假如我们把n'从1维推广到任意维，则我们的希望降维的标准为：样本点到这个超平面的距离足够近,或者说样本点在这个超平面上的投影能尽可能的分开。

　　　　基于上面的两种标准，我们可以得到PCA的两种等价推导。

2. PCA的推导:基于最小投影距离

　　　　我们首先看第一种解释的推导，即样本点到这个超平面的距离足够近。

　　　　假设m个n维数据(x(1),x(2),...,x(m))$(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)})$都已经进行了中心化，即∑i=1mx(i)=0$\sum _{i=1}^m{x}^{(i)}=0$。经过投影变换后得到的新坐标系为{w1,w2,...,wn}$\{w_1,w_2,...,w_n\}$,其中w$w$是标准正交基，即||w||2=1,wTiwj=0$||w|{|}_2=1,w_i^T{w}_j=0$。

　　　　如果我们将数据从n维降到n'维，即丢弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为{w1,w2,...,wn′}$\{w_1,w_2,...,w_{n^{\prime }}\}$,样本点x(i)$x^{(i)}$在n'维坐标系中的投影为：z(i)=(z(i)1,z(i)2,...,z(i)n′)T$z^{(i)}=(z_1^{(i)},z_2^{(i)},...,z_{n^{\prime }}^{(i)}{)}^T$.其中，z(i)j=wTjx(i)$z_j^{(i)}=w_j^T{x}^{(i)}$是x(i)$x^{(i)}$在低维坐标系里第j维的坐标。

　　　　如果我们用z(i)$z^{(i)}$来恢复原始数据x(i)$x^{(i)}$,则得到的恢复数据x¯¯¯(i)=∑j=1n′z(i)jwj=Wz(i)${\overline{x}}^{(i)}=\sum _{j=1}^{n^{\prime }}{z}_j^{(i)}{w}_j=W{z}^{(i)}$,其中，W为标准正交基组成的矩阵。

　　　　现在我们考虑整个样本集，我们希望所有的样本到这个超平面的距离足够近，即最小化下式：∑i=1m||x¯¯¯(i)−x(i)||22$$\sum _{i=1}^m||{\overline{x}}^{(i)}-x^{(i)}|{|}_2^2$$

　　　　将这个式子进行整理，可以得到:

∑i=1m||x¯¯¯(i)−x(i)||22=∑i=1m||Wz(i)−x(i)||22=∑i=1m(Wz(i))T(Wz(i))−2∑i=1m(Wz(i))Tx(i)+∑i=1mx(i)Tx(i)=∑i=1mz(i)Tz(i)−2∑i=1mz(i)TWTx(i)+∑i=1mx(i)Tx(i)=∑i=1mz(i)Tz(i)−2∑i=1mz(i)Tz(i)+∑i=1mx(i)Tx(i)=−∑i=1mz(i)Tz(i)+∑i=1mx(i)Tx(i)=−tr(WT（∑i=1mx(i)x(i)T)W)+∑i=1mx(i)Tx(i)=−tr(WTXXTW)+∑i=1mx(i)Tx(i)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)$$\begin{array}{}\text{(1)}& \sum _{i=1}^m||{\overline{x}}^{(i)}-x^{(i)}|{|}_2^2& =\sum _{i=1}^m||W{z}^{(i)}-x^{(i)}|{|}_2^2\text{(2)}& & =\sum _{i=1}^m(W{z}^{(i)}{)}^T(W{z}^{(i)})-2\sum _{i=1}^m(W{z}^{(i)}{)}^T{x}^{(i)}+\sum _{i=1}^m{x}^{(i)T}{x}^{(i)}\text{(3)}& & =\sum _{i=1}^m{z}^{(i)T}{z}^{(i)}-2\sum _{i=1}^m{z}^{(i)T}{W}^T{x}^{(i)}+\sum _{i=1}^m{x}^{(i)T}{x}^{(i)}\text{(4)}& & =\sum _{i=1}^m{z}^{(i)T}{z}^{(i)}-2\sum _{i=1}^m{z}^{(i)T}{z}^{(i)}+\sum _{i=1}^m{x}^{(i)T}{x}^{(i)}\text{(5)}& & =-\sum _{i=1}^m{z}^{(i)T}{z}^{(i)}+\sum _{i=1}^m{x}^{(i)T}{x}^{(i)}\text{(6)}& & =-tr(W^T（\sum _{i=1}^m{x}^{(i)}{x}^{(i)T})W)+\sum _{i=1}^m{x}^{(i)T}{x}^{(i)}\text{(7)}& & =-tr(W^{T}X{X}^{T}W)+\sum _{i=1}^m{x}^{(i)T}{x}^{(i)}\end{array}$$

　　　　其中第（1）步用到了x¯¯¯(i)=Wz(i)${\overline{x}}^{(i)}=W{z}^{(i)}$,第二步用到了平方和展开，第（3）步用到了矩阵转置公式(AB)T=BTAT$(AB{)}^T=B^T{A}^T$和WTW=I$W^{T}W=I$,第（4）步用到了z(i)=WTx(i)$z^{(i)}=W^T{x}^{(i)}$，第（5）步合并同类项，第（6）步用到了z(i)=WTx(i)$z^{(i)}=W^T{x}^{(i)}$和矩阵的迹,第7步将代数和表达为矩阵形式。

　　　　注意到∑i=1mx(i)x(i)T$\sum _{i=1}^m{x}^{(i)}{x}^{(i)T}$是数据集的协方差矩阵，W的每一个向量wj$w_j$是标准正交基。而∑i=1mx(i)Tx(i)$\sum _{i=1}^m{x}^{(i)T}{x}^{(i)}$是一个常量。最小化上式等价于：argminW−tr(WTXXTW)s.t.WTW=I$$\underset{W}{\underbrace{argmin}}-tr(W^{T}X{X}^{T}W)s.t.W^{T}W=I$$

　　　　这个最小化不难，直接观察也可以发现最小值对应的W由协方差矩阵XXT$X{X}^T$最大的n'个特征值对应的特征向量组成。当然用数学推导也很容易。利用拉格朗日函数可以得到J(W)=−tr(WTXXTW+λ(WTW−I))$$J(W)=-tr(W^{T}X{X}^{T}W+\lambda (W^{T}W-I))$$

　　　　对W求导有−XXTW+λW=0$-X{X}^{T}W+\lambda W=0$, 整理下即为：XXTW=λW$$X{X}^{T}W=\lambda W$$

　　　　这样可以更清楚的看出，W为XXT$X{X}^T$的n'个特征向量组成的矩阵，而λ$\lambda$为XXT$X{X}^T$的若干特征值组成的矩阵，特征值在主对角线上，其余位置为0。当我们将数据集从n维降到n'维时，需要找到最大的n'个特征值对应的特征向量。这n'个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用z(i)=WTx(i)$z^{(i)}=W^T{x}^{(i)}$,就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n'维数据集。

　　　　如果你熟悉谱聚类的优化过程，就会发现和PCA的非常类似，只不过谱聚类是求前k个最小的特征值对应的特征向量，而PCA是求前k个最大的特征值对应的特征向量。　　

3. PCA的推导:基于最大投影方差

　　　　现在我们再来看看基于最大投影方差的推导。

假设m个n维数据(x(1),x(2),...,x(m))$(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)})$都已经进行了中心化，即∑i=1mx(i)=0$\sum _{i=1}^m{x}^{(i)}=0$。经过投影变换后得到的新坐标系为{w1,w2,...,wn}$\{w_1,w_2,...,w_n\}$,其中w$w$是标准正交基，即||w||2=1,wTiwj=0$||w|{|}_2=1,w_i^T{w}_j=0$。

　　　　如果我们将数据从n维降到n'维，即丢弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为{w1,w2,...,wn′}$\{w_1,w_2,...,w_{n^{\prime }}\}$,样本点x(i)$x^{(i)}$在n'维坐标系中的投影为：z(i)=(z(i)1,z(i)2,...,z(i)n′)T$z^{(i)}=(z_1^{(i)},z_2^{(i)},...,z_{n^{\prime }}^{(i)}{)}^T$.其中，z(i)j=wTjx(i)$z_j^{(i)}=w_j^T{x}^{(i)}$是x(i)$x^{(i)}$在低维坐标系里第j维的坐标。

　　　　对于任意一个样本x(i)$x^{(i)}$，在新的坐标系中的投影为WTx(i)$W^T{x}^{(i)}$,在新坐标系中的投影方差为x(i)TWWTx(i)$x^{(i)T}W{W}^T{x}^{(i)}$，要使所有的样本的投影方差和最大，也就是最大化∑i=1mWTx(i)x(i)TW$\sum _{i=1}^m{W}^T{x}^{(i)}{x}^{(i)T}W$的迹,即：argmaxWtr(WTXXTW)s.t.WTW=I$$\underset{W}{\underbrace{argmax}}tr(W^{T}X{X}^{T}W)s.t.W^{T}W=I$$

　　　　观察第二节的基于最小投影距离的优化目标，可以发现完全一样，只是一个是加负号的最小化，一个是最大化。

　　　　利用拉格朗日函数可以得到J(W)=tr(WTXXTW+λ(WTW−I))$$J(W)=tr(W^{T}X{X}^{T}W+\lambda (W^{T}W-I))$$

　　　　对W求导有XXTW+λW=0$X{X}^{T}W+\lambda W=0$, 整理下即为：XXTW=（−λ）W$$X{X}^{T}W=（-\lambda ）W$$

　　　　和上面一样可以看出，W为XXT$X{X}^T$的n'个特征向量组成的矩阵，而−λ$-\lambda$为XXT$X{X}^T$的若干特征值组成的矩阵，特征值在主对角线上，其余位置为0。当我们将数据集从n维降到n'维时，需要找到最大的n'个特征值对应的特征向量。这n'个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用z(i)=WTx(i)$z^{(i)}=W^T{x}^{(i)}$,就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n'维数据集。

4. PCA算法流程

　　　　从上面两节我们可以看出，求样本x(i)$x^{(i)}$的n'维的主成分其实就是求样本集的协方差矩阵XXT$X{X}^T$的前n'个特征值对应特征向量矩阵W，然后对于每个样本x(i)$x^{(i)}$,做如下变换z(i)=WTx(i)$z^{(i)}=W^T{x}^{(i)}$，即达到降维的PCA目的。

　　　　下面我们看看具体的算法流程。

　　　　输入：n维样本集D=(x(1),x(2),...,x(m))$D=(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)})$，要降维到的维数n'.

　　　　输出：降维后的样本集D′$D^{\prime }$

　　　　1) 对所有的样本进行中心化： x(i)=x(i)−1m∑j=1mx(j)$x^{(i)}=x^{(i)}-\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m{x}^{(j)}$

　　　　2) 计算样本的协方差矩阵XXT$X{X}^T$

　　　　3) 对矩阵XXT$X{X}^T$进行特征值分解

　　　　4）取出最大的n'个特征值对应的特征向量(w1,w2,...,wn′)$(w_1,w_2,...,w_{n^{\prime }})$, 将所有的特征向量标准化后，组成特征向量矩阵W。

　　　　5）对样本集中的每一个样本x(i)$x^{(i)}$,转化为新的样本z(i)=WTx(i)$z^{(i)}=W^T{x}^{(i)}$

　　　　6) 得到输出样本集D′=(z(1),z(2),...,z(m))$D^{\prime }=(z^{(1)},z^{(2)},...,z^{(m)})$

　　　　有时候，我们不指定降维后的n'的值，而是换种方式，指定一个降维到的主成分比重阈值t。这个阈值t在（0,1]之间。假如我们的n个特征值为λ1≥λ2≥...≥λn${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge ...\ge {\lambda }_n$,则n'可以通过下式得到:∑i=1n′λi∑i=1nλi≥t$$\frac{\sum _{i=1}^{n^{\prime }}{\lambda }_i}{\sum _{i=1}^n{\lambda }_i}\ge t$$

5. PCA实例

　　　　下面举一个简单的例子，说明PCA的过程。

　　　　假设我们的数据集有10个二维数据(2.5,2.4), (0.5,0.7), (2.2,2.9), (1.9,2.2), (3.1,3.0), (2.3, 2.7), (2, 1.6), (1, 1.1), (1.5, 1.6), (1.1, 0.9)，需要用PCA降到1维特征。

　　　　首先我们对样本中心化，这里样本的均值为(1.81, 1.91),所有的样本减去这个均值向量后，即中心化后的数据集为(0.69, 0.49), (-1.31, -1.21), (0.39, 0.99), (0.09, 0.29), (1.29, 1.09), (0.49, 0.79), (0.19, -0.31), (-0.81, -0.81), (-0.31, -0.31), (-0.71, -1.01)。

　　　　现在我们开始求样本的协方差矩阵，由于我们是二维的，则协方差矩阵为：

XXT=(cov(x1,x1)cov(x2,x1)cov(x1,x2)cov(x2,x2))$$\mathbf{X}{\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}=\left(\begin{array}{cc}cov(x_1,x_1)& cov(x_1,x_2)\\ cov(x_2,x_1)& cov(x_2,x_2)\end{array}\right)$$

　　　　对于我们的数据，求出协方差矩阵为：

XXT=(0.6165555560.6154444440.6154444440.716555556)$$\mathbf{X}{\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}=\left(\begin{array}{cc}0.616555556& 0.615444444\\ 0.615444444& 0.716555556\end{array}\right)$$

　　　　求出特征值为（0.0490833989， 1.28402771），对应的特征向量分别为：(0.735178656,0.677873399)T(−0.677873399,−0.735178656)T$(0.735178656,0.677873399{)}^T(-0.677873399,-0.735178656{)}^T$,由于最大的k=1个特征值为1.28402771，对于的k=1个特征向量为(−0.677873399,−0.735178656)T$(-0.677873399,-0.735178656{)}^T$. 则我们的W=(−0.677873399,−0.735178656)T$(-0.677873399,-0.735178656{)}^T$

　　　　我们对所有的数据集进行投影z(i)=WTx(i)$z^{(i)}=W^T{x}^{(i)}$，得到PCA降维后的10个一维数据集为：(-0.827970186， 1.77758033， -0.992197494， -0.274210416， -1.67580142， -0.912949103， 0.0991094375， 1.14457216, 0.438046137， 1.22382056)

6. 核主成分分析KPCA介绍

　　　　在上面的PCA算法中，我们假设存在一个线性的超平面，可以让我们对数据进行投影。但是有些时候，数据不是线性的，不能直接进行PCA降维。这里就需要用到和支持向量机一样的核函数的思想，先把数据集从n维映射到线性可分的高维N>n,然后再从N维降维到一个低维度n', 这里的维度之间满足n'<n<N。

　　　　使用了核函数的主成分分析一般称之为核主成分分析(Kernelized PCA, 以下简称KPCA。假设高维空间的数据是由n维空间的数据通过映射ϕ$\varphi$产生。

　　　　则对于n维空间的特征分解：∑i=1mx(i)x(i)TW=λW$$\sum _{i=1}^m{x}^{(i)}{x}^{(i)T}W=\lambda W$$

　　　　映射为：∑i=1mϕ(x(i))ϕ(x(i))TW=λW$$\sum _{i=1}^m\varphi (x^{(i)})\varphi (x^{(i)}{)}^{T}W=\lambda W$$

　　　　通过在高维空间进行协方差矩阵的特征值分解，然后用和PCA一样的方法进行降维。一般来说，映射ϕ$\varphi$不用显式的计算，而是在需要计算的时候通过核函数完成。由于KPCA需要核函数的运算，因此它的计算量要比PCA大很多。

7. PCA算法总结

　　　　这里对PCA算法做一个总结。作为一个非监督学习的降维方法，它只需要特征值分解，就可以对数据进行压缩，去噪。因此在实际场景应用很广泛。为了克服PCA的一些缺点，出现了很多PCA的变种，比如第六节的为解决非线性降维的KPCA，还有解决内存限制的增量PCA方法Incremental PCA，以及解决稀疏数据降维的PCA方法Sparse PCA等。

　　　　PCA算法的主要优点有：

　　　　1）仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响。　

　　　　2）各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。

　　　　3）计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。

　　　　PCA算法的主要缺点有：

　　　　1）主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。

　　　　2）方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响。

 

祝大家新年快乐！

（出处：https://www.cnblogs.com/pinard/p/6239403.html）