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一、简介

1 PCA
PCA（Principal Component Analysis）是常用的数据分析方法。PCA是通过线性变换，将原始数据变换为一组各维度线性无关的数据表示方法，可用于提取数据的主要特征分量，常用于高维数据的降维。

1.1 降维问题
数据挖掘和机器学习中，数据以向量表示。例如某个淘宝店2012年全年的流量及交易情况可以看成一组记录的集合，其中每一天的数据是一条记录，格式如下：
(日期, 浏览量, 访客数, 下单数, 成交数, 成交金额)
其中“日期”是一个记录标志而非度量值，而数据挖掘关心的大多是度量值，因此如果我们忽略日期这个字段后，我们得到一组记录，每条记录可以被表示为一个五维向量，其中一条样本如下所示：
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一般习惯上使用列向量表示一条记录，本文后面也会遵循这个准则。
机器学习的很多算法复杂度和数据的维数有着密切关系，甚至与维数呈指数级关联。这里区区5维的数据，也许无所谓，但是实际机器学习中处理成千上万甚至几十万维的数据也并不罕见，在这种情况下，机器学习的资源消耗是不可接受的，因此就会对数据采取降维的操作。降维就意味着信息的丢失，不过鉴于实际数据本身常常存在相关性，所以在降维时想办法降低信息的损失。
例如上面淘宝店铺的数据，从经验可知，“浏览量”和“访客数”往往具有较强的相关性，而“下单数”和“成交数”也具有较强的相关性。可以直观理解为“当某一天这个店铺的浏览量较高（或较低）时，我们应该很大程度上认为这天的访客数也较高（或较低）”。因此，如果删除浏览量或访客数，最终并不会丢失太多信息，从而降低数据的维度，也就是所谓的降维操作。如果把数据降维用数学来分析讨论，用专业名词表示就是PCA，这是一种具有严格数学基础并且已被广泛采用的降维方法。

1.2 向量与基变换
1.2.1 内积与投影
两个大小相同向量的内积被定义如下：
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1.2.2 基
在代数中，经常用线段终点的点坐标表示向量。假设某个向量的坐标为(3,2)，这里的3实际表示的是向量在x轴上的投影值是3，在y轴上的投影值是2。也就是说隐式引入了一个定义：以x轴和y轴上正方向长度为1的向量为标准。那么一个向量(3,2)实际是在x轴投影为3而y轴的投影为2。注意投影是一个矢量，可以为负。向量(x, y)实际上表示线性组合：
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由上面的表示，可以得到所有二维向量都可以表示为这样的线性组合。此处(1,0)和(0,1)叫做二维空间中的一组基。
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之所以默认选择(1,0)和(0,1)为基，当然是为了方便，因为它们分别是x和y轴正方向上的单位向量，因此就使得二维平面上点坐标和向量一一对应。但实际上任何两个线性无关的二维向量都可以成为一组基，所谓线性无关在二维平面内，从直观上就是两个不在一条直线的向量。
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另外这里的基是正交的（即内积为0，或直观说相互垂直），可以成为一组基的唯一要求就是线性无关，非正交的基也是可以的。不过因为正交基有较好的性质，所以一般使用的基都是正交的。
1.2.3 基变换的矩阵
上述例子中的基变换，可以采用矩阵的乘法来表示，即
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如果推广一下，假设有M个N维向量，想将其变换为由R个N维向量表示的新空间中，那么首先将R个基按行组成矩阵A，然后将向量按列组成矩阵B，那么两矩阵的乘积AB就是变换结果，其中AB的第m列为A中第m列变换后的结果，通过矩阵相乘表示为：
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1.3 协方差矩阵及优化目标
在进行数据降维的时候，关键的问题是如何判定选择的基是最优。也就是选择最优基是最大程度的保证原始数据的特征。这里假设有5条数据为
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计算每一行的平均值，然后再让每一行减去得到的平均值，得到
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通过坐标的形式表现矩阵，得到的图如下：
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那么现在的问题是：用一维向量来表示这些数据，又希望尽量保留原有的信息，该如何选择呢？这个问题实际上是要在二维平面中选择一个方向的向量，将所有数据点都投影到这条直线上，用投影的值表示原始记录，即二维降到一维的问题。那么如何选择这个方向（或者说基）才能尽量保留最多的原始信息呢？一种直观的看法是：希望投影后的投影值尽可能分散。

1.3.1 方差
上述问题是希望投影后投影的值尽可能在一个方向上分散，而这种分散程度，可以采用数学上的方差来表述，即：
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于是上面的问题被形式化表述为：寻找一个一维基，使得所有数据变换为这个基上的坐标后，方差值最大。

2.3.2 协方差
数学上可以用两个特征的协方差表示其相关性，即：
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当协方差为0时，表示两个特征完全独立。为了让协方差为0，选择第二个基时只能在与第一个基正交的方向上选择。因此最终选择的两个方向一定是正交的。

至此获得降维问题的优化目标：将一组N维向量降为K维（K<N），其目标是选择K个单位（模为1）正交基，使得原始数据变换到这组基上后，各字段两两间协方差为0，而字段的方差则尽可能大（在正交的约束下，取最大的K个方差）。

2.3.3 协方差矩阵
假设只有x和y两个字段，将它们按行组成矩阵，其中是通过中心化的矩阵，也就是每条字段减去每条字段的平均值得到的矩阵：
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3.4 协方差矩阵对角化
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1.4 算法与实例
1.4.1 PCA算法
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1.4.2 实例
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1.5. 讨论
根据上面对PCA的数学原理的解释，可以了解到一些PCA的能力和限制。PCA本质上是将方差最大的方向作为主要特征，并且在各个正交方向上将数据“离相关”，也就是让它们在不同正交方向上没有相关性。

因此，PCA也存在一些限制，例如它可以很好的解除线性相关，但是对于高阶相关性就没有办法了，对于存在高阶相关性的数据，可以考虑Kernel PCA，通过Kernel函数将非线性相关转为线性相关。另外，PCA假设数据各主特征是分布在正交方向上，如果在非正交方向上存在几个方差较大的方向，PCA的效果就大打折扣了。

最后需要说明的是，PCA是一种无参数技术，也就是说面对同样的数据，如果不考虑清洗，谁来做结果都一样，没有主观参数的介入，所以PCA便于通用实现，但是本身无法个性化的优化。

二、源代码

%笔的识别
global im;%使用全局变量
imgdata=[];%训练图像矩阵
for i=1:2
    for j=1:4
        a=imread(strcat('ORL\pen',num2str(i),'_',num2str(j),'.bmp'));
        b=a(1:176*132); % b是列矢量 1*M，其中M＝23232
        b=double(b);
        imgdata=[imgdata; b]; % imgdata 是一个M * N 矩阵，imgdata中每一行数据一张图片，M＝400
    end;
end;
imgdata=imgdata'; %每一列为一张图片
imgmean=mean(imgdata,2); % 平均图片，N维列向量
for i=1:8
    minus(:,i) = imgdata(:,i)-imgmean; % minus是一个N*M矩阵，是训练图和平均图之间的差值
end;

covx=minus'* minus; % M * M 阶协方差矩阵
[COEFF, latent,explained] = pcacov(covx'); %PCA，用协方差矩阵的转置来计算以减小计算量

% 选择构成95%的能量的特征值
i=1;
proportion=0;
while(proportion < 95)
    proportion=proportion+explained(i);
    i=i+1;
end;
p=i-1;
% 训练得到特征笔坐标系
i=1;
while (i<=p && latent(i)>0)
    base(:,i) = latent(i)^(-1/2)*minus * COEFF(:,i); % base是N×p阶矩阵，用来进行投影，除以latent(i)^(1/2)是对笔图像的标准化
    i = i + 1;
end

% 将训练样本对坐标系上进行投影,得到一个 p*M 阶矩阵为参考
reference = base'*minus;
% 测试过程——在测试图片文件夹中选择图片，进行查找测试

im=imread('待测笔\待测笔.bmp');
a=im;
%b=a(1:38400);
b=double(b);
b=b';

object = base'*(b-imgmean);
% 绘出待测图片
subplot(2,3,1); 
imshow(a); 
title(['待测笔']);   

distance=100000;

%最小距离法，寻找和待识别图片最为接近的训练图片
for k=1:8 
   temp= norm(object - reference(:,k));
   if (distance > temp)
     which = k;
     distance = temp;
   end;
end;

%找出距离最近的图片所在的位置
num1 = ceil(which/5);%第num1个文件夹
num2 = mod(which,5);%第num2个图片文件
if (num2 == 0)
    num2 = 5;
end;

三、运行结果

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四、备注

完整代码或者仿真咨询添加QQ1575304183

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