给定两个点p1与p2的坐标，确定这两点所构成的直线，要求对于输入的任意点p3，都可以判断它是否在该直线上。初中解析几何知识告诉我们，判断一个点在直线上，只需其与直线上任意两点点斜率都相同即可。实际操作当中，往往会先根据已知的两点算出直线的表达式（点斜式、截距式等等），然后通过向量计算即可方便地判断p3是否在该直线上。
生产实践中的数据往往会有一定的偏差。例如我们知道两个变量X与Y之间呈线性关系，Y=aX+b，我们想确定参数a与b的具体值。通过实验，可以得到一组X与Y的测试值。虽然理论上两个未知数的方程只需要两组值即可确认，但由于系统误差的原因，任意取两点算出的a与b的值都不尽相同。我们希望的是，最后计算得出的理论模型与测试值的误差最小。大学的高等数学课程中，详细阐述了最小二乘法的思想。通过计算最小均方差关于参数a、b的偏导数为零时的值。事实上，在很多情况下，最小二乘法都是线性回归的代名词。
遗憾的是，最小二乘法只适合与误差较小的情况。试想一下这种情况，假使需要从一个噪音较大的数据集中提取模型（比方说只有20%的数据时符合模型的）时，最小二乘法就显得力不从心了。例如下图，肉眼可以很轻易地看出一条直线（模式），但算法却找错了。
RANSAC算法的输入是一组观测数据（往往含有较大的噪声或无效点），一个用于解释观测数据的参数化模型以及一些可信的参数。RANSAC通过反复选择数据中的一组随机子集来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证：
- 有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。
- 用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。
- 如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。
- 然后，用所有假设的局内点去重新估计模型（譬如使用最小二乘法），因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。
- 最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。
- 上述过程被重复执行固定的次数，每次产生的模型要么因为局内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。
参考另一个博客的流程说明：
整个过程可参考下图：
关于算法的源代码，Ziv Yaniv曾经写一个不错的C++版本，我在关键处增补了注释：
#include <math.h>
#include "LineParamEstimator.h"
LineParamEstimator::LineParamEstimator(double delta) : m_deltaSquared(delta*delta) {}
/*****************************************************************************/
/*
* Compute the line parameters [n_x,n_y,a_x,a_y]
* 通过输入的两点来确定所在直线，采用法线向量的方式来表示，以兼容平行或垂直的情况
* 其中n_x,n_y为归一化后，与原点构成的法线向量，a_x,a_y为直线上任意一点
*/
void LineParamEstimator::estimate(std::vector<Point2D *> &data,
std::vector<double> ¶meters)
{
parameters.clear();
if(data.size()<2)
return;
double nx = data[1]->y - data[0]->y;
double ny = data[0]->x - data[1]->x;// 原始直线的斜率为K，则法线的斜率为-1/k
double norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);
parameters.push_back(nx/norm);
parameters.push_back(ny/norm);
parameters.push_back(data[0]->x);
parameters.push_back(data[0]->y);
}
/*****************************************************************************/
/*
* Compute the line parameters [n_x,n_y,a_x,a_y]
* 使用最小二乘法，从输入点中拟合出确定直线模型的所需参量
*/
void LineParamEstimator::leastSquaresEstimate(std::vector<Point2D *> &data,
std::vector<double> ¶meters)
{
double meanX, meanY, nx, ny, norm;
double covMat11, covMat12, covMat21, covMat22; // The entries of the symmetric covarinace matrix
int i, dataSize = data.size();
parameters.clear();
if(data.size()<2)
return;
meanX = meanY = 0.0;
covMat11 = covMat12 = covMat21 = covMat22 = 0;
for(i=0; i<dataSize; i++) {
meanX +=data[i]->x;
meanY +=data[i]->y;
covMat11 +=data[i]->x * data[i]->x;
covMat12 +=data[i]->x * data[i]->y;
covMat22 +=data[i]->y * data[i]->y;
}
meanX/=dataSize;
meanY/=dataSize;
covMat11 -= dataSize*meanX*meanX;
covMat12 -= dataSize*meanX*meanY;
covMat22 -= dataSize*meanY*meanY;
covMat21 = covMat12;
if(covMat11<1e-12) {
nx = 1.0;
ny = 0.0;
}
else { //lamda1 is the largest eigen-value of the covariance matrix
//and is used to compute the eigne-vector corresponding to the smallest
//eigenvalue, which isn't computed explicitly.
double lamda1 = (covMat11 + covMat22 + sqrt((covMat11-covMat22)*(covMat11-covMat22) + 4*covMat12*covMat12)) / 2.0;
nx = -covMat12;
ny = lamda1 - covMat22;
norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);
nx/=norm;
ny/=norm;
}
parameters.push_back(nx);
parameters.push_back(ny);
parameters.push_back(meanX);
parameters.push_back(meanY);
}
/*****************************************************************************/
/*
* Given the line parameters [n_x,n_y,a_x,a_y] check if
* [n_x, n_y] dot [data.x-a_x, data.y-a_y] < m_delta
* 通过与已知法线的点乘结果，确定待测点与已知直线的匹配程度；结果越小则越符合，为
* 零则表明点在直线上
*/
bool LineParamEstimator::agree(std::vector<double> ¶meters, Point2D &data)
{
double signedDistance = parameters[0]*(data.x-parameters[2]) + parameters[1]*(data.y-parameters[3]);
return ((signedDistance*signedDistance) < m_deltaSquared);
}
RANSAC寻找匹配的代码如下：
/*****************************************************************************/
template<class T, class S>
double Ransac<T,S>::compute(std::vector<S> ¶meters,
ParameterEsitmator<T,S> *paramEstimator ,
std::vector<T> &data,
int numForEstimate)
{
std::vector<T *> leastSquaresEstimateData;
int numDataObjects = data.size();
int numVotesForBest = -1;
int *arr = new int[numForEstimate];// numForEstimate表示拟合模型所需要的最少点数，对本例的直线来说，该值为2
short *curVotes = new short[numDataObjects]; //one if data[i] agrees with the current model, otherwise zero
short *bestVotes = new short[numDataObjects]; //one if data[i] agrees with the best model, otherwise zero
//there are less data objects than the minimum required for an exact fit
if(numDataObjects < numForEstimate)
return 0;
// 计算所有可能的直线，寻找其中误差最小的解。对于100点的直线拟合来说，大约需要100*99*0.5=4950次运算，复杂度无疑是庞大的。一般采用随机选取子集的方式。
computeAllChoices(paramEstimator,data,numForEstimate,
bestVotes, curVotes, numVotesForBest, 0, data.size(), numForEstimate, 0, arr);
//compute the least squares estimate using the largest sub set
for(int j=0; j<numDataObjects; j++) {
if(bestVotes[j])
leastSquaresEstimateData.push_back(&(data[j]));
}
// 对局内点再次用最小二乘法拟合出模型
paramEstimator->leastSquaresEstimate(leastSquaresEstimateData,parameters);
delete [] arr;
delete [] bestVotes;
delete [] curVotes;
return (double)leastSquaresEstimateData.size()/(double)numDataObjects;
}
在模型确定以及最大迭代次数允许的情况下，RANSAC总是能找到最优解。经过我的实验，对于包含80%误差的数据集，RANSAC的效果远优于直接的最小二乘法。
RANSAC与最小二乘区别：最小二乘法尽量去适应包括局外点在内的所有点。相反，RANSAC能得出一个仅仅用局内点计算出模型，并且概率还足够高。但是，RANSAC并不能保证结果一定正确，为了保证算法有足够高的合理概率，必须小心的选择算法的参数（参数配置）。经实验验证，对于包含80%误差的数据集，RANSAC的效果远优于直接的最小二乘法。
验证思路：RANSAC算法的输入是一组观测数据，一个可以解释或者适应于观测数据的参数化模型，一些可信的参数。
RANSAC通过反复选择数据中的一组随机子集来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证：
1.有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。
2.用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。
3.如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。
4.然后，用所有假设的局内点去重新估计模型，因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。
5.最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。
这个过程被重复执行固定的次数，每次产生的模型要么因为局内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。
参数选择：
根据特定的问题和数据集通过实验来确定参数 t 和 d。然而参数 k（迭代次数）可以从理论结果推断。当估计模型参数时，用 p表示一些迭代过程中从数据集内随机选取出的点均为局内点的概率；此时，结果模型很可能有用，因此 p也表征了算法产生有用结果的概率。用 w表示每次从数据集中选取一个局内点的概率，如下式所示：
w = 局内点的数目 / 数据集的数目
通常情况下，我们事先并不知道w的值，但是可以给出一些鲁棒的值。假设估计模型需要选定n个点，w^n是所有n个点均为局内点的概率；1 − w^n是n个点中至少有一个点为局外点的概率，此时表明我们从数据集中估计出了一个不好的模型。 (1 − wn)k表示算法永远都不会选择到n个点均为局内点的概率，它和1-p相同。因此，
1 − p = (1 − w^n)^k
我们对上式的两边取对数，得出
值得注意的是，这个结果假设n个点都是独立选择的；也就是说，某个点被选定之后，它可能会被后续的迭代过程重复选定到。这种方法通常都不合理，由此推导出的k值被看作是选取不重复点的上限。例如，要从数据集寻找适合的直线，RANSAC算法通常在每次迭代时选取2个点，计算通过这两点的直线maybe_model，要求这两点必须唯一。
为了得到更可信的参数，标准偏差或它的乘积可以被加到k上。k的标准偏差定义为：
注：请注意上面紫色字体的内容！
优点与缺点——
RANSAC的优点是它能鲁棒的估计模型参数。例如，它能从包含大量局外点的数据集中估计出高精度的参数。RANSAC的缺点是它计算参数的迭代次数没有上限；如果设置迭代次数的上限，得到的结果可能不是最优的结果，甚至可能得到错误的结果。RANSAC只有一定的概率得到可信的模型，概率与迭代次数成正比。RANSAC的另一个缺点是它要求设置跟问题相关的阀值。
RANSAC只能从特定的数据集中估计出一个模型，如果存在两个（或多个）模型，RANSAC不能找到别的模型。
2. RANSAC算法示例（线性回归）
下面结合一份线性回归的代码来看：
拟合二维平面中的带噪音直线，其中有不超过10%的样本点远离了直线，另外90%的样本点可能有高斯噪声的偏移
要求输出为
ax+by+c＝0的形式
其中a > 0 且 a^2 + b^2 = 1
输入描述:
第一个数n表示有多少个样本点 之后n*2个数 每次是每个点的x 和y
输出描述:
输出a,b,c三个数，至多可以到6位有效数字
示例1
输入
5
3 4
6 8
9 12
15 20
10 -10
输出
-0.800000 0.600000 0.000000
说明
本题共有10个测试点，每个点会根据选手输出的参数计算非噪音数据点的拟合误差E，并根据E来对每个数据点进行评分0-10分
输入数据的范围在-10000
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <limits>
#include <tuple>
#include <vector>
using real = float;
using namespace std;
class Point2D {
public:
real x, y;
public:
Point2D(real x_ = 0, real y_ = 0) :
x(x_), y(y_) {}
bool operator == (const Point2D& p) {
return fabs(x - p.x) < 1e-3 && fabs(y - p.y) < 1e-3;
}
};
class Solution {
public:
vector<real> ransaclr(vector<Point2D>& pts, real outlier_prob = 0.1, real accept_prob = 1e-3, real threshold = 10.0) {
int n = pts.size();
real sample_fail_prob = 1 - (1 - outlier_prob) * (1 - outlier_prob);
int K = log(accept_prob) / log(sample_fail_prob);
real a_res, b_res, c_res;
real min_error = numeric_limits<real>::max();
//cout << "K = " << K << endl;
for (int k = 0; k < K; ++k) {
Point2D p1, p2;
while (p1 == p2) {
p1 = pts[rand() % n]; // n maybe greater than 65535
p2 = pts[rand() % n];
}
//cout << "p1 = " << p1.x << " " << p1.y << endl;
//cout << "p2 = " << p2.x << " " << p2.y << endl;
real a, b, c;
a = p1.y - p2.y;
b = p2.x - p1.x;
c = p1.x * p2.y - p1.y * p2.x;
real t = sqrt(a * a + b * b);
a /= t;
b /= t;
c /= t;
//cout << a << " " << b << " " << c << endl;
real error = 0.0;
int inliers = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
real dis = fabs(a * pts[i].x + b * pts[i].y + c);
if (dis < threshold) {
++inliers;
error += dis;
}
}
//cout << "inliers = " << inliers << endl;
//cout << "error = " << error << endl;
if (static_cast<real>(inliers) / static_cast<real>(n) > 0.7) {
if (error < min_error) {
min_error = error;
a_res = a;
b_res = b;
c_res = c;
}
}
}
return vector<real>{ a_res, b_res, c_res };
}
};
int main() {
int n;
cin >> n;
vector<Point2D> pts(n);
for (int i = 0; i < n; ++i)
cin >> pts[i].x >> pts[i].y;
srand((unsigned)time(nullptr));
auto params = Solution().ransaclr(pts, 0.1, 1e-4, 10.0);
cout << params[0] << " " << params[1] << " " << params[2] << endl;
return 0;
}
3. 反思与总结
上述代码是商汤科技2018年的笔试题，答案来自牛客网上的标准答案，但是！！！
1------------------
用 w表示每次从数据集中选取一个局内点的概率，如下式所示：w = 局内点的数目 / 数据集的数目
通常情况下，我们事先并不知道w的值，但是可以给出一些鲁棒的值。假设估计模型需要选定n个点，w^n是所有n个点均为局内点的概率；1 − wn是n个点中至少有一个点为局外点的概率，此时表明我们从数据集中估计出了一个不好的模型。 (1 − wn)k表示算法永远都不会选择到n个点均为局内点的概率，它和1-p相同。 1 − p = (1 − w^n)^k
这道题中，用来计算参数模型的点为两个，n = 2，点是内点的概率为0.9，两个点都为内点的概率为0.9*0.9， 两个点中至少有一个为外点的概率为 1 - w^n = 1 - 0.9*0.9 ，这是k的计算表达中的分母。p为算法K次迭代后接受的概率，1 - p就是不接受的概率（k次迭代中每次随机选择都有外点），这是分子，此处可以看出代码中的函数名有误。
或一种说法： 其中，p为置信度，一般取0.995；w为"内点"的比例 ; n为计算模型所需要的最少样本数。
2---------------------
如果你真的结合RANSAC思想和代码来比对，会发现有BUG。 请注意第一部分中的那两句紫色的话
RANSAC通过反复选择数据中的一组随机子集来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证：
1.有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。
2.用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。
3.如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。
4.然后，用所有假设的局内点去重新估计模型，因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。
5.最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。
代码中首先判断
static_cast<real>(inliers) / static_cast<real>(n) > 0.7也就是说内点足够多，比例大于0.7，说明模型合理。
然后我们需要用所有的内点重新估计模型，比如说我们可以用最小二乘法，根据这些内点线性拟合更新abc参数的值。 接下来评估模型好坏。
然而，我们在衡量模型的好坏（评估模型）的时候，不是用内点数量（有时候情况会用内点数量来衡量）来看，也不是用所有点来评估模型，而是用此时所有的内点来评估。也就是说，这道题中min_error应该使用所有的内点来计算，而不是代码中所有的点。
RANSAC可以用于哪些场景呢？
最著名的莫过于图片的拼接技术。优于镜头的限制，往往需要多张照片才能拍下那种巨幅的风景。在多幅图像合成时，事先会在待合成的图片中提取一些关键的特征点。计算机视觉的研究表明，不同视角下物体往往可以
通过一个透视矩（3X3或2X2）阵的变换而得到。RANSAC被用于拟合这个模型的参数（矩阵各行列的值），由此便可识别出不同照片中的同一物体。可参考下图：
另外，RANSAC还可以用于图像搜索时的纠错与物体识别定位。下图中，有几条直线是SIFT匹配算法的误判，RANSAC有效地将其识别，并将正确的模型（书本）用线框标注出来：
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