计算机视觉系列教程11：透视空间与透视变换
教程说明
章号 内容
0 色彩空间与数字成像(待定)
1 计算机几何基础
2 图像增强、滤波、金字塔
3 图像特征提取
4 图像特征描述
5 图像特征匹配
6 立体视觉
1 透视空间
为直观起见，先描述二维透视空间，其原理可直接推广至三维空间。如图2.2.1是一个二维欧式平面 R 2 \mathbb{R}^2 R2 ，现在引入二维透视坐标 P 2 \mathbb{P}^2 P2，透视坐标将欧式空间的维度扩展到三维，第三维度 w ~ \tilde{w} w~表示物体与观察点的距离，约定以 w = 1 w=1 w=1为参考平面。
根据光沿直线传播的原理，从透视坐标系原点引出一条视线 l ~ \boldsymbol{\tilde{l}} l~穿过欧式平面的点 A A A。不妨上下平移欧式平面，调整点 A A A与观察点的距离。欧式空间中的不同点 A A A、 A ′ A' A′在透视空间中是相同的，因为 l ~ \boldsymbol{\tilde{l}} l~是同一个点在不同观察距离下的表现集合，透视空间中用直线(视线) l ~ \boldsymbol{\tilde{l}} l~表示欧式空间的点。
现在保持欧式空间中的点相同，再次调整观察距离，如图2.2.2所示。观察距离越远视线越发散、信息越局部；观察距离越近视线越收敛，信息越全局——此现象可以用投影仪工作场景来说明。
定义透视空间的视线 l ~ = ( x , y , w ) \boldsymbol{\tilde{l}}=\left( x,y,w \right) l~=(x,y,w)当 w ≠ 0 w\ne 0 w=0时， l ~ \boldsymbol{\tilde{l}} l~对应欧式空间中的点 L ( x w , y w ) L\left( \frac{x}{w},\frac{y}{w} \right) L(wx,wy)， l ~ \boldsymbol{\tilde{l}} l~也称为点 L L L的齐次坐标(Homogeneous Coordinates)，当 w = 0 w=0 w=0时， l ~ \boldsymbol{\tilde{l}} l~对应欧式空间中的向量 L ⃗ = ( x , y ) \vec{L}=\left( x,y \right) L =(x,y)， w = 0 w=0 w=0也体现了其在齐次变换中的平移不变性。
透视空间中点与向量的运算
{
V
±
V
=
V
P
±
V
=
P
P
−
P
=
V
P
+
P
=
M
i
d
P
(
P
:
P
o
i
n
t
V
:
V
e
c
t
o
r
M
i
d
:
中点
)
\begin{cases} V\pm V=V\\ P\pm V=P\\ P-P=V\\ P+P=MidP\\\end{cases}\left( P:Point\,\, V:Vector\,\, Mid:\text{中点} \right)
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧V±V=VP±V=PP−P=VP+P=MidP(P:PointV:VectorMid:中点)
齐次坐标具有如下性质：
(1) 同质性。齐次坐标的几何本质，透视空间中齐次坐标是同一点在不同观察距离下的表现形式；
(2) 线性。齐次坐标下，可将对应维度欧式空间的变换线性化。例如二维欧式平面中点的平移属于非线性变换，但二维透视空间中可通过线性旋转完成欧式空间中非线性的平移。
与用透视空间的直线表示欧式空间的点类似，透视空间中用视平面表示欧式空间的直线——由于法向量唯一确定平面，因此也用该平面的法向量
l
~
\boldsymbol{\tilde{l}}
l~表示欧式空间的直线。
由解析几何易得，透视空间中的直线和点满足下面关系：
{
l
~
1
×
l
~
2
=
x
~
x
~
1
×
x
~
2
=
l
~
\begin{cases} \boldsymbol{\tilde{l}}_1\times \boldsymbol{\tilde{l}}_2=\boldsymbol{\tilde{x}}\\ \boldsymbol{\tilde{x}}_1\times \boldsymbol{\tilde{x}}_2=\boldsymbol{\tilde{l}}\\\end{cases}
{l~1×l~2=x~x~1×x~2=l~
若透视空间中的视线在视平面上(对应欧式空间中点在直线上)，则易知
l
~
T
x
~
=
x
~
T
l
~
=
0
\boldsymbol{\tilde{l}}^T\boldsymbol{\tilde{x}}=\boldsymbol{\tilde{x}}^T\boldsymbol{\tilde{l}}=0
l~Tx~=x~Tl~=0
2 透视变换
透视空间变换总体形式如图2.3.1所示，具体而言列于表2.3.1中。透视变换表征了平面间(平面上点)的映射关系。
可见透视空间所有变换都是投影变换的特例，因此研究投影变换具有重要意义，其广泛用于图像校正、视角变换、图像拼接、增强现实等方面，如图2.3.2所示。