计算机视觉系列教程11:透视空间与透视变换

计算机视觉系列教程11:透视空间与透视变换

教程说明

章号       内容
 0         色彩空间与数字成像(待定)
 1         计算机几何基础
 2         图像增强、滤波、金字塔
 3         图像特征提取
 4         图像特征描述
 5         图像特征匹配
 6         立体视觉

1 透视空间

为直观起见,先描述二维透视空间,其原理可直接推广至三维空间。如图2.2.1是一个二维欧式平面 R 2 \mathbb{R}^2 R2 ,现在引入二维透视坐标 P 2 \mathbb{P}^2 P2,透视坐标将欧式空间的维度扩展到三维,第三维度 w ~ \tilde{w} w~表示物体与观察点的距离,约定以 w = 1 w=1 w=1为参考平面。

根据光沿直线传播的原理,从透视坐标系原点引出一条视线 l ~ \boldsymbol{\tilde{l}} l~穿过欧式平面的点 A A A。不妨上下平移欧式平面,调整点 A A A与观察点的距离。欧式空间中的不同点 A A A、 A ′ A' A′在透视空间中是相同的,因为 l ~ \boldsymbol{\tilde{l}} l~是同一个点在不同观察距离下的表现集合,透视空间中用直线(视线) l ~ \boldsymbol{\tilde{l}} l~表示欧式空间的点。

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现在保持欧式空间中的点相同,再次调整观察距离,如图2.2.2所示。观察距离越远视线越发散、信息越局部;观察距离越近视线越收敛,信息越全局——此现象可以用投影仪工作场景来说明。

计算机视觉系列教程11:透视空间与透视变换

定义透视空间的视线 l ~ = ( x , y , w ) \boldsymbol{\tilde{l}}=\left( x,y,w \right) l~=(x,y,w)当 w ≠ 0 w\ne 0 w​=0时, l ~ \boldsymbol{\tilde{l}} l~对应欧式空间中的点 L ( x w , y w ) L\left( \frac{x}{w},\frac{y}{w} \right) L(wx​,wy​), l ~ \boldsymbol{\tilde{l}} l~也称为点 L L L的齐次坐标(Homogeneous Coordinates)当 w = 0 w=0 w=0时, l ~ \boldsymbol{\tilde{l}} l~对应欧式空间中的向量 L ⃗ = ( x , y ) \vec{L}=\left( x,y \right) L =(x,y), w = 0 w=0 w=0也体现了其在齐次变换中的平移不变性。

透视空间中点与向量的运算
{ V ± V = V P ± V = P P − P = V P + P = M i d P ( P : P o i n t    V : V e c t o r    M i d : 中点 ) \begin{cases} V\pm V=V\\ P\pm V=P\\ P-P=V\\ P+P=MidP\\\end{cases}\left( P:Point\,\, V:Vector\,\, Mid:\text{中点} \right) ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​V±V=VP±V=PP−P=VP+P=MidP​(P:PointV:VectorMid:中点)

齐次坐标具有如下性质:
(1) 同质性齐次坐标的几何本质,透视空间中齐次坐标是同一点在不同观察距离下的表现形式;
(2) 线性齐次坐标下,可将对应维度欧式空间的变换线性化。例如二维欧式平面中点的平移属于非线性变换,但二维透视空间中可通过线性旋转完成欧式空间中非线性的平移。

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与用透视空间的直线表示欧式空间的点类似,透视空间中用视平面表示欧式空间的直线——由于法向量唯一确定平面,因此也用该平面的法向量 l ~ \boldsymbol{\tilde{l}} l~表示欧式空间的直线。

由解析几何易得,透视空间中的直线和点满足下面关系:
{ l ~ 1 × l ~ 2 = x ~ x ~ 1 × x ~ 2 = l ~ \begin{cases} \boldsymbol{\tilde{l}}_1\times \boldsymbol{\tilde{l}}_2=\boldsymbol{\tilde{x}}\\ \boldsymbol{\tilde{x}}_1\times \boldsymbol{\tilde{x}}_2=\boldsymbol{\tilde{l}}\\\end{cases} {l~1​×l~2​=x~x~1​×x~2​=l~​
若透视空间中的视线在视平面上(对应欧式空间中点在直线上),则易知
l ~ T x ~ = x ~ T l ~ = 0 \boldsymbol{\tilde{l}}^T\boldsymbol{\tilde{x}}=\boldsymbol{\tilde{x}}^T\boldsymbol{\tilde{l}}=0 l~Tx~=x~Tl~=0

2 透视变换

透视空间变换总体形式如图2.3.1所示,具体而言列于表2.3.1中。透视变换表征了平面间(平面上点)的映射关系。

计算机视觉系列教程11:透视空间与透视变换

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可见透视空间所有变换都是投影变换的特例,因此研究投影变换具有重要意义,其广泛用于图像校正、视角变换、图像拼接、增强现实等方面,如图2.3.2所示。

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