设 \(n\) 的质因子个数为 \(k\) , \(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}\)
则当每个质数都只有一次时能使 \(k\) 最大时 \(n\) 最小。
所以设 \(2\times 3\times 5\times 7\dots=n\),
即设 \(n\) 为前 \(k\) 个质数的前缀积。
而前 \(k\) 个质数的前缀积远大于 \(k!\)
只需求出 \(k!=n\) 的近似值。
由斯特灵公式 得 \(k!\approx \sqrt{2\pi k}\left(\dfrac{k}{e}\right)^k\)
而前面的 \(\sqrt {2\pi k}\) 乘上后得出的 \(k\) 值又远小于真实 \(k\) 值
所以只需令 \(\left(\dfrac{k}{e}\right)^k=n\)
先取对数得到: \(k\ln \dfrac{k}{e}=\ln n\)
两边除 \(e\) 得: \(\dfrac{k}{e}\ln{\dfrac{k}{e}}=\dfrac{\ln n}{e}\)
即: \(\ln\frac{k}{e}\times e^{\ln\frac{k}{e}}=\dfrac{\ln n}{e}\)
由\(\text{Lambert W Function}\) 可得出 \(\ln\dfrac{k}{e}=\operatorname{W}(\dfrac{\ln n}{e})\)
所以有:\(k=\exp\left(1+\operatorname{W}(\dfrac{\ln n}{e})\right)\)
又由于 \(\operatorname W(n)=O(\ln n-\ln \ln n)\)
并且 \(\ln\dfrac{\ln n}{e}=\ln \ln n-1\)
所以 \(k=\exp(1+\ln \ln n-1+\ln (\ln \ln n-1))\)
化简得到 \(k=\dfrac{\ln n}{\ln \ln n-1}\)
所以一个数的质因子个数的一个极其粗略的近似为 \(O(\dfrac{\ln n}{\ln\ln n})\)