渣滓

2024-02-29 10:25:40

记录一些数学的东西。

一些函数

\(\varphi(n)=n(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})\cdots(1-\dfrac{1}{p_k})\)
\(p_i\) 是质因子，概率论思想算 \(\varphi\)。
\(\mu(m)=\left\{\begin{matrix}(-1)^r,&\text{all }e^i=1\\0,&\text{others}\end{matrix}\right.,\;\;(m=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r},\;\text{all }e^i>0)\)
Möbius函数。

反演的感性理解：函数的互逆推导。

卷积的感性理解：两个函数拧巴到一起。

\(p_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}q_k(x);\;\;q_n(x)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}p_k(x)\)
二项式反演。
\(n!=\sum_{k=0}^k\binom{n}{k}D_k\;\Leftrightarrow\;D_n=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k!\)
错排问题（二项式反演），\(D_k\) 表示 \(n\) 封信拆开重组，\(k\) 封信错排的方案数。
\(f(n)=\sum_{d|n}g(d)\;\Leftrightarrow\;g(n)=\sum_{d|n}\mu(\dfrac{n}{d})f(d)\)
经典的Möbius反演。

定义：凸多边形的分割成三角形的划分方案。

递推：\(C_n=C_0C_{n-1}+C_1C_{n-2}+\cdots+C_{n-1}C_0,\;\;C_0=C_1=1\)（像卷积）

通项：\(C_n=\dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\)

一些应用：

对于乘法 \(x_0x_1\cdots x_n\) ，添加括号使其形成不同的乘法顺序。
\(n\) 个数依次进栈，中途可以有数出栈，求进、出栈序列的个数。
正整数列 \(a_1\leqslant a_2\leqslant\cdots\leqslant a_n\) ，其中 \(a_k\leqslant k\)
\(n+2\) 边凸多变形可以被 \(n−1\) 条不交叉的对角线分成 \(n\) 个三角形，讨论某一条边被划分的情况。
从格点 \((0,0)\) 走到 \((2n,0)\)，每步只能走向右上或右下方向最近的格点，且不能到达 \(x\) 轴下方。

定义：\(m\) 个不同元素划分成 \(k\) 部分的方案数。

递推：\(S(m,k)=S(m-1,k-1)+kS(m-1,k)\)（选择单独一堆，还是跟别人一堆）

通项： \(S(k+r,k)=\sum_{1\leqslant k_1\leqslant k_2\leqslant\cdots\leqslant k_r\leqslant k}k_1k_2\cdots k_r\)

应用：定义。

定义：\(m\) 个不同元素分割的总方案数，即：\(B_m=\sum_{k=0}^mS(m,k)\)

递推式： \(B_{m+1}=\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}B_{m-k}\)

其他： Bell数与排列数的关系：\(n^m=\sum_{k=0}^n S(m,k)(^n_k)k!\)

（这里多有借鉴大佬的博客）

施工中，下次有时间再更新