SVD分解

SVD分解是LSA的数学基础，本文是我的LSA学习笔记的一部分，之所以单独拿出来，是由于SVD能够说是LSA的基础，要理解LSA必须了解SVD，因此将LSA笔记的SVD一节单独作为一篇文章。本节讨论SVD分解相关数学问题，一个分为3个部分，第一部分讨论线性代数中的一些基础知识，第二部分讨论SVD矩阵分解，第三部分讨论低阶近似。本节讨论的矩阵都是实数矩阵。

基础知识

1.
矩阵的秩：矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的个数

2.
对角矩阵：对角矩阵是除对角线外全部元素都为零的方阵

3.
单位矩阵：假设对角矩阵中全部对角线上的元素都为零，该矩阵称为单位矩阵

4.
特征值：对一个M x M矩阵C和向量X，假设存在λ使得下式成立

则称λ为矩阵C的特征值，X称为矩阵的特征向量。非零特征值的个数小于等于矩阵的秩。

5.
特征值和矩阵的关系：考虑下面矩阵

该矩阵特征值λ1
= 30,λ2 = 20,λ3 = 1。相应的特征向量

如果V^T=(2,4,6)
计算S x V^T

有上面计算结果能够看出，矩阵与向量相乘的结果与特征值，特征向量有关。观察三个特征值λ1
= 30,λ2 = 20,λ3 = 1，λ3值最小，对计算结果的影响也最小，假设忽略λ3，那么运算结果就相当于从(60,80,6)转变为(60,80,0)，这两个向量十分相近。这也表示了数值小的特征值对矩阵-向量相乘的结果贡献小，影响小。这也是后面谈到的低阶近似的数学基础。

矩阵分解

1.
方阵的分解

1)
设S是M x M方阵，则存在下面矩阵分解

当中U
的列为S的特征向量，为对角矩阵，当中对角线上的值为S的特征值，按从大到小排列：

2)
设S是M x M 方阵，而且是对称矩阵，有M个特征向量。则存在下面分解

当中Q的列为矩阵S的单位正交特征向量，仍表示对角矩阵，当中对角线上的值为S的特征值，按从大到小排列。最后，Q^T=Q^-1，由于正交矩阵的逆等于其转置。

2.
神秘值分解

上面讨论了方阵的分解，可是在LSA中，我们是要对Term-Document矩阵进行分解，非常显然这个矩阵不是方阵。这时须要神秘值分解对Term-Document进行分解。神秘值分解的推理使用到了上面所讲的方阵的分解。

如果C是M
x N矩阵，U是M x M矩阵，当中U的列为CC^T的正交特征向量，V为N
x N矩阵，当中V的列为C^TC的正交特征向量，再如果r为C矩阵的秩，则存在神秘值分解：

当中CC^T和C^TC的特征值同样，为

Σ为M
X N，当中，其余位置数值为0，的值按大小降序排列。下面是Σ的完整数学定义：

σ_i称为矩阵C的神秘值。

用C乘以其转置矩阵C^T得：

上式正是在上节中讨论过的对称矩阵的分解。

神秘值分解的图形表示：

从图中能够看到Σ尽管为M
x N矩阵，但从第N+1行到M行全为零，因此能够表示成N x N矩阵，又因为右式为矩阵相乘，因此U能够表示为M x N矩阵，V^T能够表示为N
x N矩阵

3.
低阶近似

LSA潜在语义分析中，低阶近似是为了使用低维的矩阵来表示一个高维的矩阵，并使两者之差尽可能的小。本节主要讨论低阶近似和F-范数。

给定一个M
x N矩阵C(其秩为r)和正整数k，我们希望找到一个M x N矩阵C_k，其秩不大于K。设X为C与C_k之间的差，X=C
– C_k，X的F-范数为

当k远小于r时，称C_k为C的低阶近似，当中X也就是两矩阵之差的F范数要尽可能的小。

SVD能够被用与求低阶近似问题，过程例如以下：

1.
给定一个矩阵C，对其神秘值分解：

2.
构造，它是将的第k+1行至M行设为零，也就是把的最小的r-k个(the
r-k smallest)神秘值设为零。

3.
计算C_k：

回顾在基础知识一节里以前讲过，特征值数值的大小对矩阵-向量相乘影响的大小成正比，而神秘值和特征值也是正比关系，因此这里选取数值最小的r-k个特征值设为零合乎情理，即我们所希望的C-C_k尽可能的小。完整的证明能够在Introduction
to Information Retrieval^[2]中找到。

我们如今也清楚了LSA的基本思路：LSA希望通过减少传统向量空间的维度来去除空间中的“噪音”，而降维能够通过SVD实现，因此首先对Term-Document矩阵进行SVD分解，然后降维并构造语义空间。