USACO 2009 Open 干草塔 Tower of Hay

Description

为了调整电灯亮度，贝西要用干草包堆出一座塔，然后爬到牛棚顶去把灯泡换掉。干草 包会从传送带上运来，共会出现N包干草，第i包干草的宽度是Wi，高度和长度统一为1。干 草塔要从底层开始铺建。贝西会选择最先送来的若干包干草，堆在地上作为第一层，然后再 把紧接着送来的几包干草包放在第二层，再铺建第三层……重复这个过程，一直到所有的干 草全部用完。每层的干草包必须紧靠在一起，不出现缝隙，而且为了建筑稳定，上层干草的 宽度不能超过下层的宽度。按顺序运来的干草包一定要都用上，不能将其中几个干草包弃置 不用。贝西的目标是建一座最高的塔，请你来帮助她完成这个任务吧。

Input Format

第一行：单个整数：N，1 ≤ N ≤ 100000 第二行到N + 1行：第i + 1行有一个整数Wi，1 ≤ Wi ≤ 10000

Output Format

第一行：单个整数，表示可以建立的最高高度

Sample Input

3

1

2

3

Sample Output

2

Hint

将1 和2放在第一层，将3放在第二层

Solution

本题很容易想到从后往前贪心每次只拿到恰好不比上一层小的干草，但这贪心其实是错的。

如 999 999 1 3这样的数据答案应是3但是贪心得到的是2。

由于本题阶段性非常明显我们考虑倒着DP。

对于后i层的干草堆成的塔a对答案的影响有两部分：

1.塔a最后一层的宽度越短则前面的干草堆成的塔高度更高。

2.塔a本身的高度。

DP显然难以同时考虑两部分，我们考虑用贪心合并这两个部分：

一定存在一种方案使得干草堆成的塔最高的同时最底层也最短。

所以我们可以用f[i]表示i到n这些干草能堆成的最大高度，g[i]表示最底层的最短宽度。

f[i]=f[j]+1,g[i]=w[j-1,i] (j>=i,w[j-1,i]>=g[j])

但是如果直接暴力转移的化时间复杂度是\(O(n^2)\)的不足以胜任这个数据范围。

观察转移方程可以发现在满足转移条件的情况下，j越大则f[i]、g[i]都更优，故此可以用单调队列优化转移：把j存进队列中，若队头元素的下一位满足转移条件则把队头踢出，每次入队时如果队尾比要入队的元素还要晚满足条件则把队尾删除，每次转移时直接取队头进行转移。

Code

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#define N 100007

int n,s,t,q[N],f[N],g[N],w[N];

int main(){

	scanf("%d",&n);

	for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&w[i]),w[i]+=w[i-1];

	q[0]=n+1;

	for (int i=n;i;--i){

		while (s<t&&w[q[s+1]-1]-w[i-1]>=g[q[s+1]]) ++s;

		f[i]=f[q[s]]+1,g[i]=w[q[s]-1]-w[i-1];

		while (s<=t&&g[q[t]]-g[i]>=w[q[t]-1]-w[i-1]) --t;

		q[++t]=i;

	}

	printf("%d\n",f[1]);

	return 0;

}